1r ciclo Convergencia de estas tres series

[Fermat]

Hola a todos. Estoy atascado con estas tres series y no sé cómo estudiar su convergencia. Os reflejo a continuación en que puntos tengo mis dudas. La primera series sería la siguiente.

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x+4)^{n}}{n!}$

Nos encontramos ante una serie de potencias. Para hallar su radio de convergencia he de hacer primero el límite de $\sqrt[n]{a_{n}}$.

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!}} = A$

$ln\; A = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot ln \frac{1}{n!} = \frac{-\infty}{\infty}$

Una vez que tuviera el límite hallar el radio de convergencia sería rutinario, pero el caso es que no sé como resolver esta indeterminación.

En la segunda de las series me encuentro con un problema similar. La serie en cuestión es esta.

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3(x-1)^{n}}{(n+1)!}$

Sigo el mismo procedimiento de arriba, pero me atasco al llegar al límite

$ln\; A = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot ln \frac{1}{(n+1)!} = \frac{-\infty}{\infty}$

Y la tercera de las series es la que reflejo a continaución.

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(n+1)^n}$

En un principio he aplicado el criterio del cociente.

$\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{(n+1)!}{(n+2)^(n+1)}}{\frac{n!}{(n+1)^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)! (n+1)^n}{n!\cdot(n+2)^{(n+1)}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+2)^{n+1}} = 1$

Como los dos están elevados al mismo exponentey la n de la base no tiene ningún coeficiente delante supongo que el límite da 1. En este caso el criterio del cociente no decide, por lo que aplico el de Raabe.

$\lim_{n \to \infty} n\cdot(\frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}-1) = \lim_{n \to \infty} n\cdot(\frac{(n+2)^{n+1} - (n+1)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}})$

Y tampoco sé como resolver este límite. Se puede decir que la duda es más una duda de límites que una duda de series Los dos primeros me desconciertan porque en bachillerato no habíamos hecho nunca límites con factoriales, y si bien otros si que los sé hacer estos que involucran el cociente con el logaritmo me pierden.

¡Un saludo y gracias por cualquier ayuda que podáis prestarme!

[sater]

Re: Convergencia de estas tres series

Buenas, los dos primeros también se pueden hacer con el del cociente creo. Igualmente no se si sabes $\sqrt[n]{n}=1$ (también la de 2n,3n... las de n cuadrado, n cubo... etc) y que $\dst n!\ll {n}^{dn }$ si $\dst d \geqslant 1$
Para los de abajo ten en cuenta que $\dst \frac{{(n+1)}^{n+1 }}{{(n+2)}^{n+1 } }= {(\frac{n+1}{n+2 }})^{ n+1}$ que es una indeterminación del tipo uno elevado a infinito, que se resuelven con $\dst {e}^{\lim_{n \to \infty} {b}_{n }\cdot ({a}_{ n}-1)}$ siendo a sub n la que tendía a uno y b sub n la que tendía a infinito.

[relojdepared]

Re: Convergencia de estas tres series

Cierto sater seria como la de nuestro examen del otro dia, con la indeterminacion de ${1}^{ \infty}$. Un saludo.

[Fermat]

Re: Convergencia de estas tres series

Hola, Sater. Muchas gracias por tu respuesta. En efecto conocía que la raíz enésima de n da 1 como resultado. El caso es que cuando nos encontramos un factorial en el denominador del radicando la cosa parece ser distinta. El límite da 0 puesto que lo he comprobado graficando la función, pero no sé como demostrarlo. En consecuencia el radio de convergencia de la serie sería infinito. ¿Alguien tiene alguna idea?



¡Un saludo y gracias por la ayuda!

[sater]

Re: Convergencia de estas tres series

Buenas, a lo mejor el error viene de que en el primero eso que has puesto como x es mas una ene que una equis, entonces creo que sale.
Un saludo

- - - Actualizado - - -

Se me ha ido a mi el perolo, perdon. El radio de convergencia se define como $\dst R:=\frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{abs\left({a}_{n } \right)}}$.
Con abs quiero decir valor absoluto.
entonces tu tienes el límite $\dst \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n! }}$. Si asumimos la consideración de antes, el límite da uno y el radio es uno, por lo que x converge si $\dst x\in \left(-1 , 1 \right)$.
En los extremos del intervalo converge pero ahora me da pereza poner el porqué creo que es así, es largo. El siguiente creo que es más de lo mismo pero los estoy haciendo tumbado en la cama directamente en el ordenador y a latex así que no me hagas mucho caso xD
un saludo

[Castelao]

Re: Convergencia de estas tres series

Para las series de potencias, sobre todo cuando trabajamos con factoriales, a veces es más recomendable usar esto para hallar el radio de series de potencias:

$r=\lim_{n \to \infty}\left\vert{\frac{{a}_{n }}{ {a}_{ n+1}}} \right\vert{}$

Que proviene directamente del criterio de D'Alembert o del cociente.

Así, sin mirarlo mucho, las dos primeras me dan de radio $r=\infty$

Y si aplicas el criterio del cociente, te sale que dicho límite es igual a , por lo que ambas convergen.


- - - Actualizado - - -

Por otra parte, para la última serie podemos aplicar el criterio de la raíz

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y te sale que es menor que 1, pues

$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{n!}{{(n+1)}^{n } }}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n+1}\sqrt[n]{n!}<\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n+1}\sqrt[n]{{n}^{n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n+1}=1$

Y por tanto converge.

Corregidme si me equivoco, que meto bastante la pata con series.

Saludos