1r ciclo serie de taylor para x infinito

[Betifer]

hola! estoy resolviendo el problema del campo eléctrico de un disco cargado para valores grandes de z y tengo que resolver la serie de taylor de la siguiente expresión

$\dst \left ( \left ( \frac{R}{z }\right)^{2}+1\right )^{-\frac{1}{2}}$

el resultado es $\dst 1-0.5 \left ( \frac{R}{z} \right )^{2}$ y más términos pero no se como llegar aquí

que tengo que despreciar o añadir en las derivadas para llegar hasta ahí?

para construir la serie tendría

f(x)=$\dst \left ( \left( \frac{R}{z} \right )^{2}+1\right )^{-\frac{1}{2}}$ aquí si desprecio R/z frente a 1 se quedaria como un 1

f'(x)=$\dst \frac{-1}{2}\left ( \left ( \frac{R}{z}\right )^{ 2}+1\right )^{-\frac{3}{2}}\left (-2 \frac{{R}^{2}}{{z}^{3}} \right )$

si desprecio como antes se queda $\dst \frac{{R}^{2}}{{z}^{3}}$ y al escribir el término 1 de la serie se quedaría $\dst\frac{{R}^{2 }}{{z}^{2 } }$

pero no aparece el -1/2, que está mal?
gracias

[Rodri]

Re: serie de taylor para x infinito

Llamemos $x=\frac{R}{z}$

Y consideremos la función $f(x)=\left( x^{2}+1 \right)^{-\frac{1}{2}}$

La situación para $z\gg R$ corresponde al comportamiento de la función f(x) cuando x es muy pequeña, por lo que es aproximable por unos pocos términos de la serie de Taylor de f(x) en torno a x=0 (serie de Mc Laurin):

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f''(0)x^{2}+ ...$

Vamos a calcular (al menos de momento) hasta el término cuadrático. Para ello calculamos:

$f(0)=1$
$f'(x)=-x(x^{2}+1)^{-\frac{3}{2}}$ --> $f'(0)=0$
$f''(x)=-(x^{2}+1)^{-\frac{3}{2}}-x(-\frac{3}{2})2x(x^{2}+1)^{-\frac{5}{2}}$ --> $f''(0)=-1$

Y entonces podemos escribir

$f(x) \cong 1 - \frac{1}{2}x^{2}$

, que corresponde a la solución que mencionas

[carroza]

Re: serie de taylor para x infinito

o mejor llama $x= R^2/z^2$, y desarrolla $f(x) = (1+x)^{-1/2}$

saludos