1r ciclo "Producto Integral": Divertimento y dudas

[guibix]

Hola a todo el mundo.

Hace unos días, mirando unos vídeos de Mecánica Estadística, topé con algo que ya había visto, pero hasta entonces no había podido ver sus implicaciones matemáticas. Cuando se busca la distribución de energía de un sistema termodinámico a partir de muchos sub-sistemas, nos encontramos con un producto de los múltiples sub-sistemas.

El tema no está en el problema físico en si, más bien es el procedimiento matemático por el cual pasa de un producto a una sumatoria y de este a una integral.

Tenemos el producto

$$\prod_{i = 1}^n a_i,$$

hacemos la exponencial del logaritmo neperiano

$$\exp\left(\ln \prod_{i = 1}^n a_i\right),$$

como el logaritmo de un producto es la suma de logaritmos, tenemos que

$$\exp\left(\sum_{i = 1}^n \ln a_i\right),$$

Aquí es donde podemos aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo para pasar de un sistema discreto a uno continuo. Pasando la sucesión $a_i$ a una función contínua $f(x),$ multiplicando la sumatoria por $\Delta i$ y llevarlo en el límite dónde $\Delta i\to \dd x,$ nos queda que

$$\exp\left(\int_{x_0}^x \ln f(x)\dd x\right),$$

Para el caso que menciono, se resuelve para $f(x)=x$ e $x_0=0.$ Lo cual da como resultado

$$e^{-x}x^x$$

Que resulta ser una aproximación de la función factorial, cosa que no sorprende siendo el producto de todas la $x.$ Y aquí es donde empiezan las dudas:

¿Porqué siendo el producto de todas la $x$ no es exactamente un factorial? ¿No es esa precisamente su definición?


Si extendemos la expresión 4 para cualquier $f(x)$ y cualquier intervalo, tenemos una aplicación que nos da el producto de todos los valores de f(x) dentro de ese intervalo.

Otra cosa que veo es que el $\dd x$ está de exponente de $f(x),$ lo cual significa que cuando $f(x)=0,$ todo el producto no "colapsa" necesariamente por culpa de un solo 0, ya que queda una indeterminación tipo $0^0$ que puede tener solución real o compleja. Eso me hace pensar que es aplicable en multitud de funciones y por lo tanto es algo generalizable. Si bien no tengo la menor idea de otras aplicaciones posibles.

¿Tiene nombre esta aplicación? ¿Tiene alguna otra utilidad en los campos de la física o las matemáticas?

Y lo más importante: Si una integral tiene un significado geométrico bien claro (El área bajo la curva, etc.) ¿Qué significado tiene un producto así? ¿Además si la integral de $x$ tiene dimensiones de $x^2$, ese producto para $x$ tiene dimensión $x^x$?

En fin, seguro que me dejo algo más pero ya he expuesto lo básico.

Gracias!!

[carroza]

Re: "Producto Integral": Divertimento y dudas

Hola.

Para entender la expresión aproximada del factorial, imagínate que tienes factorial de 2:

$2 ! = 1 \cdot 2 = 2$.

Ahora, puedes hacer una aproximación (no especialmente brillante), de cada factor como la raiz cuadrada de un producto de números equidistantes:

$1 \simeq \sqrt{0.75 \cdot 1.25} = 0.968$

$2 \simeq \sqrt{1.75 \cdot 2.25} = 1.984$

Con lo cual, tienes $2 ! \simeq \sqrt{ 0.75 \cdot 1.25 \cdot 1.75 \cdot 2.25}$

Ahora, sustituyes los factores 0.75 etc por la raiz cuadrada del producto de dos números equidistantes.
Si sigues haciendo esto, obtendrás en el límite una expresión equivalente a la integral que consideras. La diferencia es que, para aproximar el factorial de x, los límites no deben ser 0 y x, sino 1/2 y x+1/2. Pruebalo, y verás como te sale una aproximación mejor al factorial, aunque nunca el factorial exacto.

Saludos

[Arahuan]

Re: "Producto Integral": Divertimento y dudas

Cuando realizas el paso de discreto a continuo debes asumir desde entonces una aproximación, por ejemplo a={cos(2*pi*n)} es idéntico a b={1}, queda claro que la integral de cos(2*pi*n) dista ser la integral de 1, siendo la segunda una mejor aproximación a la suma de los elementos discretos del conjunto a={cos(2*pi*n)}

La definición de factorial es discreta, su equivalente continuo esta dada por la función gamma...

Sobre la pregunta del intervalo, no hay que olvidar que es una aproximación. Si multiplicas de n a (n+1), solo habrás multiplicado 2 elementos, pero en el caso continuo habrás sido una infinidad de elementos (hay más números entre 0 y 1 que naturales). Para los cuales entre n y (n+1) la función f admite cualquier función que satisfaga las condiciones de frontera (que la función f(i) sea el i-esimo elemento de a)

Para el exponente dx, pues sencillamente integras hasta antes y después de que lim→0, dado que la integral (área bajo la curva) no se ve afectado si omites sumar un elemento infinitesimal (por ejemplo 1=0.99999999999999...)

Sobre tu última pregunta, pues asumo que estas asignando dimensiones físicas a la integral, así la integral de v [m/s] diferencial de t [s], es s [m]. Como partes de un producto las dimensiones serán n veces la dimensión de tu función f, en el caso continuo sera b (límite superior) veces la dimensión de tu valor f, por las unidades de la diferencial...

(Nota que tu utilizaste el limite superior como x, las unidades físicas de f eran [x], y la diferencial adimensional...)