Otras carreras Cálculo vectorial: flujo de un campo vectorial.

[Piqueroide]

Buenas a todos!

Os traigo este ejercicio en el que la verdad, no se que metodo elegir para resolverlo a la hora de integrar, os lo expongo:

"Utilizar algun teorema del calculo vectorial para hallar el flujo del campo vectorial $\vec{E} = {x}^{2}\hat{\imath} + (\frac{3}{2}{y}^{2} + z)\hat{\jmath} + \frac{{z}^{2}}{2}\hat{k}$ que sale por todas las caras del solido A, que está limitado superiormente por el plano z=2, e inferiormente por el paraboloide $z = \frac{{x}^{2}}{2{a}^{2}} + \frac{{y}^{2 }}{2{b}^{ 2}}$"

Bien, lo que yo hago, a la vista está, es justificar las hipotesis del teorema de la divergencia o de Gauss:

El volumen A se encuentra limitado por la superficie cerrada S, formada por el plano z=2 y el paraboloide dado de manera que dicha superficie es suave a trozos y está orientada según el vector unitario normal $\vec{n}$. Además, tenemos que el campo vectorial es de clase C1 en V y en la superficie que lo delimita, denominándola $\delta V$. En virtud de esto, se aplica el teorema de Gauss.

El problema esta en que, una vez tengo la integral triple de la divergencia extendida a dicho volumen, no se que cambio de variable usar de los que nos enseñaron (cilíndricas o esféricas, nos enseñaron el concepto de cambio de variable, pero solo trabajamos esos dos basicos). Si intento usar cilindricas, me queda un dominio demasiado complicado y me quedo atascado facil.

Alguien que supiera?

[oscarmuinhos]

Re: Cálculo vectorial: flujo de un campo vectorial.

Tratándose de un paraboloide de sección elíptica (y no de revolución) no veo mucha ventaja en utilizar cilíndricas o esféricas.
Creo que se puede abordar la integración en cartesianas (dV = dx.dy.dz) , -con los límites que pongo en la imagen siguiente-, empezando por la suma o integración a lo largo del eje $x$ (con lo que tendríamos el volumen de una barra "elemental" limitada dentro de una elipse) y seguir con la integración sobre el eje $y$ para tener un "disco" elíptico "elemental" y acabar sumando el eje z desde $z_1= 0$ hasta $z_2 = 2$ para, "sumando" todos los discos, tener el paraboloide


No parece que sean difíciles las integrales que resultan

[Piqueroide]

Re: Cálculo vectorial: flujo de un campo vectorial.

Muchisimas gracias Oscar, me sacaste del apuro!

Claro, el problema estaba en que, ya no en cilindricas si no que igual, si intentaba integrar en cartesianas, empezaba integrando respecto de z y claro, expresiones bastante feas.

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Sin embargo oscar, no entiendo muy bien como planteas los limites tanto en x como en y a partir de la ecuacion del paraboloide, podrias explicarme como?