Otras carreras Volumen de un sólido mediante integrales múltiples

[Brayan Jaimes]

Hola. He estado intentando hacer un ejercicio cuyo enunciado es éste:
"Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies dadas: z=x^2+y^2+1, z=0, y=x^2, y=2x+3."

Sin embargo no comprendo cuales serían los límites de integración y cuál sería la función a integrar en este caso. Es la primera vez que veo este tema, y la verdad es que me confunde.

[M_Odes]

Re: Volumen de un sólido mediante integrales múltiples

Hola. He estado intentando hacer un ejercicio cuyo enunciado es éste:
"Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies dadas: z=x^2+y^2+1, z=0, y=x^2, y=2x+3."

Sin embargo no comprendo cuales serían los límites de integración y cuál sería la función a integrar en este caso. Es la primera vez que veo este tema, y la verdad es que me confunde.

Para calcular el volumen, debes tener en cuenta que el diferencial de volumen en coordenadas cartesianas se escribe como:

$\dst{\dd V = \dd x \dd y \dd z}$

De manera que el volumen total se calcula como

$\dst{V = \iiint_{ \Sigma} \dd V = \iiint_{ \Sigma} \dd x \dd y \dd z}$

Donde los límites de integración delimitan la región $\Sigma$ que es la que contiene el volumen (volumen de $\Sigma$ es el volumen buscado). De este modo, si fuese posible expresar los límites de integración como funciones de las demás vaoriables, podría llegarse a ecuaciones del tipo

$\dst{V = \iiint_{ \Sigma} \dd x \dd y \dd z = \int_{x_1}^{x_2} \dd x \int_{y1(x)}^{y_2(x)} \dd y \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} \dd z }$


Este razonamiento se aplica para tu problema, si te fijas en las condiciones dadas (las regiones que limitan tu volumen $\Sigma$) la variable $z$, depende tanto de $y$ como de $x$, teniéndose entonces $z=z(x,y)$. con $z_1=0$ y $z_2=x^2+y^2+1$. Por su parte, $y$ solo depende de $x$, teniendose entonces $y=y(x)$, con $y_1=x^2$ y $y_2=2x+3$. Aquí te preguntarás ¿cómo se concluye cuál es el orden de los límites de integración?. Bien, partes de considerar que $y=y(x)$ delimitará los valores posibles de x. ¿por qué? por que no nos han dado el intervalo sobre el cuál varía x y porque las región sobre la cual varía y (que es dependiente de x) debería ser una región cerrada para que el cálculo del volumen tenga sentido. De manera que debes preguntarte, en que valores de x , los límites de integración $y_1=x^2$ y $y_2=2x+3$ se encuentran?
Esto te lleva a plantear el problema
$y_1=y_2$ que equivale a decir $x^2=2x+3$.
Al resolver la ecuación cuadrática, te encuentras que las soluciones son $x=-1$ y $x=3$. Estos serán tus límites de integración para x, y así tienes el problema bien delimitado. La región de integración para el plano x,y sería algo como esto (eje horizontal es el eje x, el eje veritcal corresponde al eje y)


Con la integral

$\dst{V = \int_{-1}^{3} \dd x \int_{x^2}^{2x+3} \dd y \int_{0}^{x^2+y^2+1} \dd z }$

Donde tendrás que integrar polinomios, así que no debería representarte problemas.

Saludos