1r ciclo Funciones implícitas

[sater]

Buenas. Tengo un ejercicio que dice así:
Se supone que la ecuación $f(x^2-y^2 ,y^2-z^2 ) = 0$, donde $f \in C^1\:(\mathbb{R}^2)$ define a $z$ como función
implícita $z = \varphi(x,y)$ de las variables $x\: \text{e}\: y$ en un conjunto abierto $\Omega \in \mathbb{R}^2$ . Para (x,y) ∈ Ω
calculad el valor de la expresión:
$x \varphi (x,y) \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} + y \varphi(x,y)\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}$

Lo que no entiendo es como puede esa ecuación definir a z como función implícita de la variable x también. ¿Alguna ayuda?

[angel relativamente]

Re: Funciones implícitas

Lo que no entiendo es como puede esa ecuación definir a z como función implícita de la variable x también. ¿Alguna ayuda?

¿Por qué no?. Si llamas $t=x^2-y^2$ y $r=y^2-z^2$, tienes que $f(t,r)$ es una función que depende de $t$ y de $r$ (por ejemplo podría ser $t/r$), y en la función está tanto la x como la z.

[sater]

Re: Funciones implícitas

Sigo sin pillarlo bien. Como podría derivar ahí dicha función implícita?
pd : siento no contestar antes, es que con esto de la semana santa no he hecho nada

[oscarmuinhos]

Re: Funciones implícitas

Hola sater
En este hilo http://forum.lawebdefisica.com/threa...impl%C3%ADcita tienes las condiciones que ha de cumplir esa ecuación para definir implícitamente a $z$ como función de $x$ y de $y$: $z= \varphi (x,y)$.

Para la segunda parte del enunciado, siguiendo con el cambio de variables que te propone angel, creo que se puede intentar lo siguiente:
-derivar la ecuación $\dst f(x^2-y^2, y^2-z^2) = 0$ -o sea $f(t, r)=0$- respecto a las variables independientes $x$ e $y$. De esta forma se obtiene un sistema de dos ecuaciones homogéneas a resolver en función de $\dst \frac{\partial f }{\partial t}$ y de $\dst \frac{\partial f}{\partial r}$.

Yo obtengo (salvo error de método o de cálculo): $\dst x.z.\frac{\partial z}{\partial y} + y.z.\frac{\partial z}{\partial x} = xy$

Saludos

[SCHRODINGER27]

Re: Funciones implícitas

Perdón por mi interrupción pero, intentando hacerlo para practicar, pero no consigo arrancar. Lo de demostrar que la ecuación define la función implícita, eso no es necesario en este ejercicio. No consigo ver que es $\varphi (x,y)$.

Gracias

[oscarmuinhos]

Re: Funciones implícitas

Perdón por mi interrupción pero, intentando hacerlo para practicar, pero no consigo arrancar. Lo de demostrar que la ecuación define la función implícita, eso no es necesario en este ejercicio. No consigo ver que es $\varphi (x,y)$.

Gracias

Esa $z=\varphi(x,y)$ en este enunciado es lo mismo que $z=z(x,y)$ en el enunciado del hilo que has iniciado tú.

Y,efectivamente, en este enunciado no hace falta comprobar las condiciones del teorema de la función implícita, porque ya el mismo enunciado asegura que la ecuación $f(x^2-y^2, y^2-z^2)=0$ define a $z$ como función implícita de $x$ e $y$.

saludos

[sater]

Re: Funciones implícitas

Buenas. Al final he llegado a que la expresión pedida es igual a $x y$ (como a Óscar). Comento lo que he hecho:
Como $f(t,r)=0$ se puede intentar:


$\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac {\partial f}{\partial t} \dfrac{\partial t}{\partial x} + \dfrac{\partial f }{\partial r}\dfrac{\partial r}{\partial x}=0$

$\dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac {\partial f}{\partial t} \dfrac{\partial t}{\partial y} + \dfrac{\partial f }{\partial r}\dfrac{\partial r}{\partial y}=0$

Cuando tengas el sistema, divides las ecuaciones y se anulan los $\dfrac{\partial f}{\partial r}$ y los $\dfrac{\partial f}{\partial t}$ y ya solo es despejar tal que quede la expresión del enunciado. A mi me queda igual a $x y$.

Un saludo y si creéis que me equivoco comentadme =)

pd: releyendo comentarios es esencialmente lo realizado por Óscar, sorry.

[SCHRODINGER27]

Re: Funciones implícitas

Hola, a ver que me aclare, el sistema queda

$<br /> \frac{df}{dx} = \frac{df}{ dt} (2x) + \frac{df}{dr } 0 = 2x \frac{df}{ dt} = 0<br />$

$<br /> \frac{df}{dy} = \frac{df}{ dt} (-2y) + \frac{df}{ dr} (2y) = 2y ( \frac{df}{ dr} - \frac{df}{ dt} ) = 0<br />$

Y cuando tienes eso, ¿qué se hace? Según pone Sater, se divide y despejan, pero si lo haces, obtienes que ambos son cero, ¿no? También, al sustituir en la ecuación $\varphi (x,y) = z$ y ya está pero, y $\frac{d\varphi}{dx } (x,y)$ e $\frac{d\varphi}{dy } (x,y)$, ¿ponemos las funciones que hemos obtenido?

Siento tanta pregunta, pero no consigo verlo. Gracias

[oscarmuinhos]

Re: Funciones implícitas

Hola SCHRODINGER
Lo que te sucede es que estás derivando sin tener en cuenta que $z=z(x,y)$

Se deriva la ecuación $f(x^2-y^2, y^2-z^2)=f(t, r) = 0$ respecto a $x$ e $y$ pero teniendo en cuenta que $z = z(x,y)$

$\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac {\partial f}{\partial t}.2x + \dfrac{\partial f }{\partial r}\left( -2z.\dfrac{\partial z}{\partial x} \right)=0$

$\dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac {\partial f}{\partial t} (-2y) + \dfrac{\partial f }{\partial r}.\left(2y-2z \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)=0$

Este es un sistema de dos ecuaciones homogéneas que para que tenga solución (para cualesquiera \dfrac{\partial f}{\partial t} y \dfrac{\partial f}{\partial r}) distinta de la trivial, ha de verificarse que el determinante de los coeficientes ha de ser igual a cero y de este determinante se obtiene la solución que pide el enunciado.

Por supuesto también es válido el método de sater:
De la primera ecuación resulta:

$\dfrac {\partial f}{\partial t}.2x = \dfrac{\partial f }{\partial r}\left( 2z.\dfrac{\partial z}{\partial x} \right)=0$

De la segunda ecuación se obtiene:

$\dfrac {\partial f}{\partial t} (2y) = \dfrac{\partial f }{\partial r}.\left(2y-2z \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)=0$

Se divide miembro a miembro y se cancelan los términos $\dfrac{\partial f}{\partial t}$ y $\dfrac{\partial f}{\partial r}$

Saludos

[SCHRODINGER27]

Re: Funciones implícitas

Muchas gracias por la ayuda, todo muy claro.