1r ciclo Distancia al eje z

[sater]

Duda básica y muy tonta de un ejercicio que me requema los sesos:
¿Cómo construyo una función (es para un sólido, quiero su densidad) que sea directamente proporcional a su distancia al eje Z? Es para una integral en varias variables, lo digo por si sirviera.
Gracias de antemano

[fadedu]

Re: Distancia al eje z

¿Te refieres a la distancia de un punto cualquiera en el plano xy al eje z?

[Al2000]

Re: Distancia al eje z

¿$\rho = k r$?

[SCHRODINGER27]

Re: Distancia al eje z

Hola, creo que se refiere a este ejercicio:



Por comentarlo por encima y ver si lo he hecho bien

Apartado a)

Cogiendo la densidad 1, no es mas que hacer las 4 integrales, una del denominador y las tres del numerador. Después de integrar la coordenada z, pasas a polares, poniendo el jacobiano del cambio a polares e integrando en una circunferencia, obtienes las integrales. Yo, al final, obtengo que las coordenadas son (3/10 , 3/10 , 7/20).

Apartado b)

No sé muy bien por dónde empezar, en este es en el que tengo dudas y agradecería ayuda.

Gracias

[sater]

Re: Distancia al eje z

A mi el a) me queda el punto (0,0,2). Con que extremos integras?
La dificultad que yo le veo es que es distancia a una recta no a un punto.

[SCHRODINGER27]

Re: Distancia al eje z

Primero hago la coordenada z entre (1+x^2 + y^2) y (3 - x^2 - y^2). Con lo que obtengo, paso a polares e integro entre 0 y 2pi y ro, entre 0 y 1, pero no estoy muy seguro de los últimos límites. ¿Tú?

[sater]

Re: Distancia al eje z

he pasado a polares cilíndricas, y hecho lo mismo que tu pero con los limites de z cambiados a polares y por lo tanto multiplicando por el jacobiano.

- - - Actualizado - - -

Buenas de nuevo. La verdad es que no se cómo interpretar la distancia al eje OZ, porque dice que sea proporcional (ni directa, ni inversa, ni en qué grado...) Yo lo que me imagino es algo así como la distancia punto-recta. ¿Estáis de acuerdo conmigo?

[SCHRODINGER27]

Re: Distancia al eje z

Sí, debe ser algo así, pero no sé por dónde cogerlo.

[gdonoso94]

Re: Distancia al eje z

Sater, cuando se refiere a distancia proporcional al eje OZ suele referirse a directamente proporcional. En este caso sería realizar la integral pero con la densidad que te ha dicho Al por ahí arriba.

Suerte.

[sater]

Re: Distancia al eje z

es cierto., sí se hace la distancia de un punto cualquiera a la recta del del eje z queda la raíz cuadrada de x cuadrado más y cuadrado

[oscarmuinhos]

Re: Distancia al eje z

Hola a todos.
No soy nada práctico en el manejo de estas integrales, pero voy a intentar echar una mano y si alguien encuentra algún error, por favor, que lo diga.

La ecuación $z=1+x^2+y^2$ es un paraboloide con el mínimo en $z=1$ y cuyo eje es el eje $z$
La ecuación $z= 3- x^2-y^2$ es otro paraboloide con el máximo en $z=3$ y cuyo eje es también el eje $z$



Por lo tanto, por simetría, ya se tiene que $\bar{x}= \bar{y}=0$

Solo queda, pues, calcular la coordenada $\bar{z}$ del centro de gravedad, sabiendo que, efectivamente,

$\dst \bar{z} = \frac{\iiint_M z.\rho(x,yz)dxdydz}{\iiint_M\rho(x,y,z)dxdydz}$

Para calcular estas integrales (la del numerador y la del denominador), la simetría sugiere tomar coordenadas cilíndricas. Con estas coordenadas:

$\dst x^2+ y^2 =r^2$; $z = z$ y $\rho(x,y,z) = kr$ (tal como ha señalado Al en el post #3 y acaba de recordar gdonoso94 en el post #9) y $dx.dy.dz =r.d\varphi.dr.dz$

Por otra parte, se divide la zona de integración en dos: una desde $z= 1$ (el mínimo) hasta la intersección de las dos paraboloides -zona limitada por la paraboloide $z= 1+x^2+y^2$ y otra desde la indersección de las dos paraboloides hasta $z=3$ -zona limitada por la paraboloide $z=3-x^2-y^2$ (No sé si se puede hacer sin dividir la zona de integración...Yo, en todo caso, no sé como se hace).

Empezamos por la integral del numerador:
Al integrar conviene empezar por integrar la variable $\varphi;$ a continuación integrar la variable $r$ y finalmente la variable $z$. Los límites de integración serán:
- para la variable $\varphi$: desde hasta $2\pi$;
- para la variable $r$: desde $r=0$ hasta $1+r^2=z$ ; o sea desde $r=0$ hasta $r=\sqrt{z-1}$;
- para la variable $z$: desde z=1 (mínimo) hasta la intersección de los paraboloides. Esta intersección ha de verificar la condición de que $r$ en una y otra paraboloide tengan el mismo valor, es decir $\dst r_1^2 =z-1 = r_2^2 =3-z$, de donde $z=2$

$\dst \iiint_M z.\rho(x,yz)dxdydz = \iiint_M z.kr.r.d\varphi.dr.dz= \int_{z=0}^{z=2}\int_{r=0}^{r=\sqrt{z-1}}\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}z.kr^2.dz.dr.d\varphi$

Se trata de una integral sencilla.

Para la integral desde $z=2$ hasta $z=3$ se procede de la misma manera: solo cambian los límites integración de $r$ (desde $r = 0$ hasta $r = \sqrt{3-z}$) y los de $z$ (desde $z=2$ hasta $z=3$).

Y lo mismo se haría con la integral del denominador para hallar la masa total de cada una de estas dos zonas

Una vez hecho esto, tendríamos las coordenadas $\bar{z_1}$ y $\bar{z_2}$ del centro centro de gravedad de cada una de estas dos zonas. A partir de ellas se obtiene facilmente el centro de gravedad de la totalidad de la zona sin más que aplicar:

$\dst M_1.\bar{z_1}+M_2.\bar{z_2}=(M_1 + M_2).\bar{z}$

[gdonoso94]

Re: Distancia al eje z

Hola, escribo en referencia a oscarmuinhos:

Tu procedimiento a simple vista lo veo correcto, pero como has dicho que no tienes mucha destreza con estas integrales te doy un apunte:

$\dst \int_{z=0}^{z=2}\int_{r=0}^{r=\sqrt{z-1}}\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}z.kr^2.dz.dr.d\varphi$

Esta integral, así es correcta y cualquiera la entendería, pero resulta que hay un convenio para escribirlas:

$\dst \int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{\sqrt{z-1}}\left(\int_{0}^{2\pi}z.kr^2.d\varphi\right)dr\right)dz=\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{z-1}}\int_{0}^{2\pi}z.kr^2.d\varphi drdz$

Si te das cuenta, la integral de "más afuera" hace referencia al difrencial de "más afuera", la del medio con el diferencial del medio y la de dentro con el diferencial de dentro. Te dejo escritos los paréntesis para que sea más visual, pero no son necesarios. Así evitas poner a qué variable hacen referencia los límites.

Un saludo.

[oscarmuinhos]

Re: Distancia al eje z

Hola, escribo en referencia a oscarmuinhos:

Tu procedimiento a simple vista lo veo correcto, pero como has dicho que no tienes mucha destreza con estas integrales te doy un apunte:

$\int_{z=0}^{z=2}\int_{r=0}^{r=\sqrt{z-1}}\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}z.kr^2.dz.dr.d\varphi$

Esta integral, así es correcta y cualquiera la entendería, pero resulta que hay un convenio para escribirlas:

$\dst \int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{\sqrt{z-1}}\left(\int_{0}^{2\pi}z.kr^2.d\varphi\right)dr\right)dz=\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{z-1}}\int_{0}^{2\pi}z.kr^2.d\varphi drdz$

Si te das cuenta, la integral de "más afuera" hace referencia al diferencial de "más afuera", la del medio con el diferencial del medio y la de dentro con el diferencial de dentro. Te dejo escritos los paréntesis para que sea más visual, pero no son necesarios. Así evitas poner a qué variable hacen referencia los límites.

Un saludo.

Muchas gracias gdonoso94.
No estaba yo muy seguro de esos criterios, por eso preferí indicar los límites.
Gracias de nuevo

- - - Actualizado - - -

Y ahora que reviso la integración de
$\dst \iiint_M z.\rho(x,yz)dxdydz = \iiint_M z.kr.r.d\varphi.dr.dz= \int_{z=0}^{z=2}\int_{r=0}^{r=\sqrt{z-1}}\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}z.kr^2.dz.dr.d\varphi$

veo que es posible integrar sin dividir esa zona de integración con solo cambiar el orden de integración:
-integramos en primer lugar respecto a $d\varphi$ desde 0 a $2\p$i (se obtendría una anillo completo)
-se integra a continuación respecto a $dz$, desde $z=1+r^2$ hasta $z=3-r^2$ (se obtendría el valor de la integral sobre una capa cilíndrica de espesor $dr$)
-y se integra finalmente respecto a $dr$, desde $r=0$ hasta la intersección de las dos paraboloides que es fácil de ver que es $r=1$. (se obtendría la integral sobre todo el volumen)

Con el criterio que acaba de poner gdonoso94
$\dst \iiint_M z.\rho(x,yz)dxdydz = \iiint_M z.kr.r.d\varphi.dr.dz= \int_0^{1}\int_{1+r^2}^{3-r^2}}\int_{0}^{2\pi}z.kr^2.d\varphi.dz.dr$

Así se evita el ultimo paso de calcular el centro de gravedad de las dos partes juntas a partir de los centros de gravedad de cada parte.

Saludos

[sater]

Re: Distancia al eje z

Buenas. Coincido con tu resolución y con no dividir los intervalos. Gracias=)