1r ciclo límites en teorema Stokes

[sergiolor]

saludos

en el teorema de Stokes estoy calculando la circulación a través de la circunferencia creada a partir de la esfera de radio 1 y el plano x+y+z=0, que parametrización uso si las coordenadas esféricas tienes dos parámetros angulares?

el radio sería 1, pero como parametrizar en función de t es lo que no puedo resolver


y en la parte para calcular la integral de superficie del rotacional, lo que tampoco veo es como es la superficie que queda en el plano XY porque tendría el circulo de radio 1 más la condición de x+y=0 lo que me dejaría una línea recta

saludos

[juan lopez]

Re: límites en teorema Stokes

Hola:
La intersección de la esfera y el plano no te da una circunferencia sino una elipse girada respecto a lo ejes coordinados, usa la parametrizacion de la elipse. t varía entre O y 2 pi

[hoja en blanco]

Re: límites en teorema Stokes

Hola Sergiolor,
Atención. La intersección de una esfera con un plano en $\mathbb{R}^3$ siempre da una circunferencia. Si uno coge una naranja perfecta y la corta de un tajo, la sección no puede ser otra cosa que una circunferencia. Aclarado esto, vamos con tu problema. Lo cierto es que es de los más típicos y el método de resolución siempre es el mismo. Ya que no me has dado un campo vectorial y yo quiero explicártelo con un ejemplo concreto, me invento uno. Tu ya harás los cálculos con el pertinente. Pongo $\vec{A}=(3x,0,y-1)$ y quiero calcular la circulación de este vector a lo largo de la curva C que resulta de la intersección de la esfera de radio 1 y el plano $x+y+z=0$.
Como he dicho, C es una circunferencia, que claramente está ubicada en el plano $x+y+z=0$ y tiene origen en (0,0,0). Ya que $\vec{A}$ es una función vectorial contínua sobre C, la integral de línea la calcularemos como
$\int_C \vec{A}\cdot\vec{dl}=\int_{t_1}^{t_2} \vec{A}(c(t))\cdot c'(t) dt$
Lo que nos falta encontrar es una parametrización de la curva $C:[0,2\pi)\Rightarrow\mathbb{R}^3$. Ya que la circunferencia está en ese plano, vamos a trabajar sobre el plano. En general, para una circunferencia tenemos $\vec{r}=R\cos\theta\vec{i}+R\sin\theta\vec{j}$ donde $\vec{r}$ es un vector que apunta desde el origen hasta un punto cualquiera de la circunferencia, $R$ es su radio, $\theta$ es el ángulo que forma $\vec{r}$ con $\vec{i}$ y finalmente $\vec{i}$, $\vec{j}$ son vectores perpendiculares del plano en que está situada la circunferencia.
Empecemos con los vectores. El primero lo calcularé eligiendo dos puntos cualesquiera del plano (que satisfagan la ecuación de tu plano), haciendo la diferencia y normalizando. Así:
$\vec{i}=\frac{(1,-1,0)-(0,1,-1)}{||(1,-1,0)-(0,1,-1)||}=\frac{(1,-2,1)}{\sqrt{6}}$
El segundo lo calcularé haciendo el producto vectorial del vector normal del plano (nos lo dice su ecuación canónica) con el vector que acabo de calcular.
$\vec{j}=\frac{(1,2,1)\times (1,1,1)}{||(1,2,1)\times (1,1,1)||}=\frac{(-3,0,3)}{\sqrt{18}}$
El radio $R$ lo calculo fácilmente con la función distancia definida en $\mathbb{R}^3$ como es habitual, eligiendo como puntos, obviamente, el centro y un punto cualquiera de C (debe satisfacer las dos ecuaciones: la de la esfera y la del plano!)
$R=d\left((0,0,0),\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)\right)=\frac{1}{2}$
Como ya intuirás, tu parámetro $t$ será $\theta$. Ya lo tenemos todo. Una posible parametrización de C es
$c(t)=\frac{1}{2}\cos t\frac{(1,-2,1)}{\sqrt{6}}+\frac{1}{2}\sin t\frac{(-3,0,3)}{3\sqrt{2}}=(...,...,...)$
No escribo el resultado que es muy largo (disculpas). Solo tienes que hacer las multiplicaciones y sumas por componentes.
Ahora, usamos la fórmula antes enunciada de la circulación. Hay que evaluar el vector $\vec{A}$ en la curva, es decir, allí donde ponga $x,y,z$ de mi expresión de $\vec{A}$ poner lo que nos ha salido en (...,...,...), cada una en su sitio. Esto es $\vec{A}(c(t))$. A continuación, deriva respecto a $t$ el vector (...,...,...). Esto es $c'(t)$. Multiplícalos escalarmente e integra el campo escalar resultante respecto a t desde 0 hasta $2\pi$.
A mi me ha dado
$\int_C \vec{A}\cdot\vec{dl}=-\frac{\pi}{\sqrt{3}}$
Es un buen ejercicio cerciorarse de la validez del teorema de Stokes que aquí trabajamos. Para hacerlo, vamos a calcular la otra integral, el flujo del rotacional de $\vec{A}$. Tranquilo, ésta es más fácil y rápida. Solo tienes que calcular el rotacional del vector y multplicarlo escalarmente por el vector unitario de la superfície, que nos lo da la ecuación canónica del plano (recuerda que la circunferencia está contenida en el plano, así que sus vectores normales son iguales). Es $\vec{n}=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$. Recurda también que el diferencial de superficie será $R dR d\theta$. En resumen,
$\int_S \nabla\times\vec{A}\cdot\vec{dS}=\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{1}{2}} (1,3,0)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)RdRd\theta=\frac{\pi}{\sqrt{3}}$
Quizás te estás preguntando por qué nos ha cambiado el signo. Resulta que hemos escogido "mal" el vector unitario del plano. Com sabrás, un plano es una superfície orientable con dos posibles vectores de superfície. La parametrización que yo he escogido para C la recorre en sentido horario. Por tanto, por la regla de la mano derecha, yo tengo que elegir como $\vec{n}=-(1,1,1)$. Y esto salva nuestro trabajo.
Espero que haya quedado claro. Si ves algún error o tienes dudas, pregunta. El cálculo es suficientemente complejo como para requerir una buena dosis de reflexión.
Saludos

[juan lopez]

Re: límites en teorema Stokes


Hola : como se puede apreciar en la interseccion no nos da una circunferencia ya que existe un termino cruzado "xy"

[hoja en blanco]

Re: límites en teorema Stokes

Hola juan lopez,
Para calcular la intersección de una esfera y un plano no se debe hacer lo que tu has hecho, pues lo que has encontrado es la proyección de la circunferencia en el plano x+y+z=0 de la que yo hablaba sobre el plano xy, la cual es, naturalmente, una elipse.
Saludos.

[juan lopez]

Re: límites en teorema Stokes

Hola : lo que pedia sergiolor era una parametrizacion de la curva proyeccion de la esfera y el plano, si esa proyeccion la haces sobre z=0 te queda una elipse en coordenadas cartesianas para despues calcular la circulacion .Esa proyeccion nunca sera una circunferencia en cartesianas ,como se puede apreciar en el sistema
Un saludo

- - - Actualizado - - -

PD. Si el plano tiene las tres coordenadas nunca da una circunferencia

[hoja en blanco]

Re: límites en teorema Stokes

Hola,
La geometría proyectiva da respuesta a este pequeño conflicto de perspectivas que estamos teniendo: al fin y al cabo, una circunferencia y una elipse són lo mismo pero cambiando el punto de vista. Yo lo estaba mirando en el plano del plano (valga la redundancia) que aparece en el enunciado del problema. Es por eso que yo me construí una base de vectores en dicho plano para poder calcular la parametrización de la curva como circunferencia, pues creí que sería más sencillo así. Por supuesto, si tu deseas proyectar esa circunferencia en el plano XY, y usar la base habitual de vectores ortonormales teniendo en cuenta después a la hora de integrar que lo que obtines es una elipse, puedes hacerlo sin mayor problema.
Son soluciones equivalentes. Se parece un poco a ese ejemplo sacado de relatividad, en que un observador en un tren y otro en la estación observan un evento en cierto punto. Sus observaciones y forma de hacer los cálculos serán diferentes e incluso sus resultados numéricos pueden serlo, pero mediante una regla de transformación, éstos se harán iguales y por lo tanto sus conclusiones físicas también.
Siento el malentendido, no expresé correctamente lo que quería decir.
Ahora a Sergiolor: puedes hacer el cálculo en el plano XY con los vectores i y j de siempre pero cambiando el diferencial de superfície (ahora en cartesianas) y los límites de integración a los de tipo "elíptico". Debes obtener el mismo resultado.
Saludos a los dos.

[juan lopez]

Re: límites en teorema Stokes

Hola:
Un problema siempre se puede resolver desde distintos puntos de vista ,yo pensé que al pedir la parametrizacion con t las cartesianas le salía mejor, claro que no se como queda la integral y o lo mejor sale más fácil com tu parametrizacion.
Un saludo