1r ciclo Trabajo realizado por una Fuerza

[AhmirM]

Hola, estaba haciendo el siguiente ejercicio:



y me he quedado un poco tonto. Sé que la intersección es una elipse ( espero no equivocarme ) de ecuación $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$ y lo he parametrizado. Pero al hacer la integral de linea, el resultado me da cero. No sé qué es lo que estoy haciendo mal. ¿Alguna ayuda, por favor?


Gracias !

[Marce_]

Re: Trabajo realizado por una Fuerza

No estás haciendo nada mal. El campo es de gradientes!.

Un abrazo.-

[Breogan]

Re: Trabajo realizado por una Fuerza

Hola:

La curva intersección de esas dos superficies no es una elipse, es un circulo contenido en el plano z=y.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Estas ultimas son la ecuación de la curva en el espacio (ambas), a partir de estas la podes parametrizar como mas te convenga para resolver el problema.

Ojo!, que el resultado te de bien no implica que el procedimiento usado sea correcto.

s.e.u.o.

Suerte

[AhmirM]

Re: Trabajo realizado por una Fuerza

No entiendo porque la intersección no es una elipse, puse la ecuación arriba. ¿Me podriais indicar el procedimiento para resolver el problema, por favor? Es un ejercicio para entregar mañana y no consigo entenderlo...

He parametrizado así:

$<br /> x=2cos(t), <br /> y=\sqrt{2}sin(t), <br /> z=\sqrt{2}sin(t)<br /> , t\in[0,2pi]$

[arivasm]

Re: Trabajo realizado por una Fuerza

El plano z=y pasa por el origen de coordenadas, y la esfera del enunciado está centrada en el origen. Si cortas una esfera por un plano que pasa por su centro el resultado es, evidentemente, una circunferencia. Tu problema, a la hora de creer que se trata de una elipse, está en que no estás considerando la coordenada z, de manera que sólo ves la ecuación $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ como la ecuación de una curva en el plano XY.

La razón es simple, la circunferencia a la que nos referimos no está en el plano XY, sino en el plano y=z. Es decir, es una circunferencia con centro en (0,0,0) que está en un plano (el y=z) que forma un ángulo de 45º con el XY. La ecuación anterior, que resulta de prescindir completamente de la coordenada Z, es la de su proyección en el plano XY, que sí es una elipse.

En términos sencillos, un plato circular visto con una orientación de 45º es una elipse.

Respecto del 0 del resultado es bastante obvio, como $z=y$ tenemos que $\vec F=(0,y-x,x-y)$ y $\dd\vec r=(\dd x, \dd y, \dd y)$ de manera que $\vec F\cdot\dd\vec r=(y-x)\dd y+(x-y)\dd y=0$. El trabajo de esa fuerza en cualquier curva trazada sobre el plano y=z será nulo, pues el vector $\vec F$ es los puntos de ese plano perpendicular al mismo.

[AhmirM]

Re: Trabajo realizado por una Fuerza

[FONT=Verdana]Lo has explicado de tal forma que me ha quedado más claro que el agua. Muchísimas gracias por tu tiempo.[/FONT]

[FONT=Verdana]Saludos[/FONT]

- - - Actualizado - - -

Sólo una cosa más, en el problema dice que halle el trabajo por las DOS orientaciones posibles. Me pregunto, ¿Qué dos orientaciones? la horaria y la antihoraria. Si es así, sólo sé parametrizar la antihoraria. ¿Cómo sería la horaria?

[Marce_]

Re: Trabajo realizado por una Fuerza

Antes que nada, me comí por completo la parametrización por sólo mirar el campo. Mis disculpas.

Para cambiar la parametrización a horaria, habiendo parametrizado el "piso" en polares, basta con cambiar el sentido que recorren los ángulos : $\dst t\in[-\pi,\pi]$. No olvides tampoco que -como el campo es conservativo-, la integral sobre cualquier curva cerrada dará cero.

Un abrazo y perdón nuevamente por la omisión.

[visitante20160513]

Re: Trabajo realizado por una Fuerza

El trabajo al desplazar una partícula en el seno de un campo de fuerzas conservativo (es aquel en el que la fuerza puede expresarse como el gradiente de un cierto potencial) siempre es igual a la diferencia de los valores del potencial entre los extremos de la trayectoria, entonces cuando la trayectoria es cerrada lógicamente el trabajo es nulo.

Esto debería estar bien explicado en tu libro.

- - - Actualizado - - -

El trabajo al desplazar una partícula en el seno de un campo de fuerzas conservativo (es aquel en el que la fuerza puede expresarse como el gradiente de un cierto potencial) siempre es igual a la diferencia de los valores del potencial entre los extremos de la trayectoria, entonces cuando la trayectoria es cerrada lógicamente el trabajo es nulo.

Esto debería estar bien explicado en tu libro.

[arivasm]

Re: Trabajo realizado por una Fuerza

Yo creo que el campo no es conservativo, pues su rotacional es no nulo (-2,-2,-2).

[Marce_]

Re: Trabajo realizado por una Fuerza

Y calculé mal el rotacional, es verdad. Vengo afiladísimo!.

Si $\dst \vec{F}=\left(F_{1}, F_{2} , F_{3}\right)$

$$\nabla \times \vec{F}= \left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y} - \frac{\partial F_{2}}{\partial z}, \frac{\partial F_{1}}{\partial z}- \frac{\partial F_{3}}{\partial x}, \frac{\partial F_{2}}{\partial x}- \frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)= (-2, -2, -2)$$

[AhmirM]

Re: Trabajo realizado por una Fuerza

[FONT=Verdana]Madre mía, que lío. Gracias por vuestras respuestas, pero creo que me habéis liado más después de la (super) explicación de @arivasm. Aprecio vuestra ayuda, pero respecto a la parametrización (horaria, antihoraria) y el debate sobre que si es o no el campo conservativo (según calculé el rot(F), NO es conservativo)... creo que me habéis liado más jajajaja.

¿Podríais parametrizar la curva, de las maneras posibles, por favor?[/FONT]

[Al2000]

Re: Trabajo realizado por una Fuerza

La parametrización que pusiste antes funciona bien. Si quieres cambiar el sentido, simplemente cambia "t" por "-t" dentro de las funciones trigonométricas (es decir, cambia el seno por -seno, ya que el coseno es par) o déjalas como están pero corre "t" desde "0" hasta "-2 pi".

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[AhmirM]

Re: Trabajo realizado por una Fuerza

Listo, todo hecho y entendido, lo que si, me he quedado con ganas de absorber toda vuestra sabiduría, da gusto hablar con alguien que sabe más que tu.

Muchísimas gracias a todos

Saludos,

Ahmir