diferencial de un angulo

[Macuca]

Hola tengo escrito el desarrollo del teorema de Prony pero hay un punto en el que no estoy del todo de acuerdo pero no encuentro la regla. el tema es que el profe hace la aclaración "cos ((dx)/2) tiende a 1 y sen ((dx)/2) tienende a (dx)/2", es eso ultimo lo que no me cierra. Aclacion: para angulos infinietesimales (dx)/2 tiende a 0. Gracias.

[arivasm]

Re: diferencial de un angulo

$\dst \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

[Macuca]

Re: diferencial de un angulo

Hola, gracias por la respuesta pero no es exactamente mi duda. Mi porblema es que si el coseno de la mitad de la diferenical de un ángulo da 1 porque el seno de la misma expresion da como resultado la misma expresion a la que se le aplicó el seno. Gracias. (no es que lo pueda afirmar pero me parece que debería tender a 0)

[visitante20160513]

Re: diferencial de un angulo

Bueno deberías mostrar el punto exacto del desarrollo en que se te produce la duda, porque trabajar con límites a veces te juega malas pasadas si no tienes en cuenta, además de los valores de los límites de cada una de las funciones implicadas, la rapidez con la que se alcanzan dichos valores. Hay muchos ejemplos que podrían ponerse, pero es mejor que muestres tu el caso concreto y así lo analizamos detenidamente. Te pondré tan solo un ejemplo muy conocido en el que influye la rapidez de los límites parciales:

$\lim_{_{\ n \to \infty}} \left (1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n=\ \mathbf{e}=2,718281828459\ ...$

Los dos sumandos del interior del paréntesis tienden a 1 y a 0 respectivamente, pero hay que tener en cuenta la rapidez de cada uno de estos límites, el primer sumando vale directamente 1, luego tiende al límite de forma muy rápida, pero el segundo sumando tiende a 0 aunque lo hace de forma más lenta, el resultado te parecerá a lo mejor magia (aunque es muy conocido) ya que es la definición matemática del número $\mathbf{e}$. Es posible que aún no la conozcas, pero tranquilo que ya llegarás a ella, al igual que todo hijo de vecino que se precie. Por cierto ese limite es de Euler, el gran matemático del siglo XVII al que se le atribuye el descubrimiento de dicho número.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: diferencial de un angulo

Yo, por mi parte, aclararé mi respuesta. Puesto que, como dije antes, $\dst \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ una lectura que podemos hacer de este resultado es que para valores del arco suficientemente próximos a 0 podemos reemplazar el seno del arco por el valor de éste, es decir, si $x\to 0$ entonces $\sin x\approx x$. El caso expuesto en el hilo, en el que el arco es $\dd x/2$, estamos en la situación comentada, de manera que $\sin\frac{\dd x}{2}\approx\frac{\dd x}{2}$

[Macuca]

Re: diferencial de un angulo

Gracias arivasm, esto es exactamente lo que estaba tratando de averiguar. En el desarrollo esta la aclaración que el cos dx/2 (para angulos infinitesimales) tiende a 1 y mi duda era porque el seno dx/2 no tiende a 0 y afirma en cambio eso que aclaraste. Perdón y gracias, pero sigo con la misma duda.

[arivasm]

Re: diferencial de un angulo

La verdad es que el final de tu mensaje me despista...

...pero sigo con la misma duda.

La clave está en el concepto de diferencial. Aunque en este foro se han vertido ríos de bits al respecto, sin entrar en el punto de vista formal y matemático, los físicos solemos pensar en él como una diferencia infinitesimal. En otras palabras, una cantidad todo lo próxima a cero que deseemos, pero no cero.

En este caso, como $\sin\frac{\dd x}{2}\approx\frac{\dd x}{2}$ digamos que el seno se parece tanto a cero como queramos que se parezca el diferencial. De ahí el sutil matiz de "tiende a $\frac{\dd x}{2}$" en lugar de un "tiende a 0". Por si no me he explicado bien: la primera de estas dos afirmaciones contiene más información que la segunda, a la que, por cierto, engloba.

El caso de $\cos\frac{\dd x}{2}$ es, en cambio, bastante más basto. Aunque podríamos evaluarlo con un tosco $\dst\lim_{x\to 0}\cos x=1$ y sanseacabó, quizá comprenderemos mejor las sutilezas si recurrimos al desarrollo de Taylor de orden 2 de esta función en torno a $x=0$: $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+O(x^4)$. Esto significa que $\cos\frac{\dd x}{2}=1-\frac{(\dd x)^2}{8}+O[(\dd x)^4]$. Si tenemos en cuenta que el $\dd x$ representa un infinitésimo (perdona que lo diga de esta manera tan bruta: una "m..rda pinchada en un palo") si encima lo elevas al cuadrado el resultado se vuelve aún más pequeño (aún más "m..rda pinchada en un palo"), y 1 + algo absolutamente minúsculo es 1.

Quizá me digas, "ya, ya, pero antes en vez de un 0 raso me has dicho que es $\frac{\dd x}{2}$, ¿por qué ahora no dices que es $1-\frac{(\dd x)^2}{8}$?", a lo que yo te respondería, "vale, vale, acepto pulpo por animal de compañía: si necesitases (y no sabría bien qué contexto podría requerirlo) trabajar en ese orden de aproximación (recuerda, el cuadrado de un diferencial) no te quedaría más remedio que usar eso que acabas de decir; pero si estás manejando todo con el orden de aproximación de los diferenciales (y entonces "pasando" de sus potencias, más despreciables que ellos mismos) entonces deberás quedarte sólo con el 1".

Por cierto que esto me recuerda una anécdota de mis años mozos. Teníamos un profesor que no era precisamente de los más queridos, al que pusimos el mote del "infinitésimo" (luego lo cambiamos por "épsilon")... porque era pequeño y despreciable!