Un problema muy elemental

Re: Un problema muy elemental

De acuerdo y gracias a todos.
Si. El hilo ya lo tenia entendido en el mensaje #17. Cometia varios
errores de concepto y por eso no entendia mi mensaje inicial.
Mi ultimo comentario se referia solo a la sorpresa que me llevé
cuando Arivasm escribió:
$\dst{\sqrt{-1}=- i}$
(Nunca lo habia visto y ni tan siquiera lo había contemplado!!!)
Un saludo.

[Jose D. Escobedo]

Re: Un problema muy elemental

Solo un comentario final.

Esto es muy ´sutil´...

$\dst{\sqrt{-1}=\pm i}$

Porque:

$\dst{(0+1i)^{(2+0i))}\rightarrow [Z{}']=1,Arg{}'=2(+\frac{\pi }{2}+2k\pi)}$

y

$\dst{(0-1i)^{(2+0i))}\rightarrow [Z{}']=1,Arg{}'=2(-\frac{\pi }{2}+2k\pi)}$

Porque aunque no coindiden los argumentos finales, son el mismo numero complejo.
Muy bueno... Arivasm !!!
Un saludo.

Hola, FVPI, no entiendo tu argumento, las operaciones que propones las puse en mi calculadora y me dieron resultados de $-1$, es mas lo que escribiste se reduce $(i)^2=-1$ y tambien $(-i)^2= (-i)(-i)=i^2=-1$, y en cuanto a lo de que tomes $2 k \pi$ como parte del argumento, esto se me parece redundante en un circulo de radio $1$.

Otra forma de ver las cosas para la pregunta que planteaste desde el principio, es que en el álgebra de operadores estos no conmutan (en general como los números). Si al vector $x$, le aplicas el operador de elevar al cuadrado y luego el operador de la radicación, vas a obtener la función $g(x)=|x|$ y que al compara esta con la función $f(x)=x$ en $x=-1$, te darás cuenta de que no es lo mismo.

Saludos

Re: Un problema muy elemental

Solo un comentario final.

Esto es muy ´sutil´...

$\dst{\sqrt{-1}=\pm i}$

Porque:

$\dst{(0+1i)^{(2+0i))}\rightarrow [Z{}']=1,Arg{}'=2(+\frac{\pi }{2}+2k\pi)}$

y

$\dst{(0-1i)^{(2+0i))}\rightarrow [Z{}']=1,Arg{}'=2(-\frac{\pi }{2}+2k\pi)}$

Porque aunque no coindiden los argumentos finales, son el mismo numero complejo.
Muy bueno... Arivasm !!!
Un saludo.

Re: Un problema muy elemental

De acuerdo y gracias.

- Claro!!! $\dst{(-1)^{0.5}}$ no tiene solucion mas que en numeros complejos...
(Me supongo que para estos casos se inventaron...)

- Esto no lo sabia!!!

$\dst{\sqrt{-1}=\pm i}$

Un saludo.

Re: Un problema muy elemental

En el campo complejo cualquier polinomio de grado n-simo tiene n raíces complejas, por supuesto que una ecuación de la forma:

$z^2=-1\qquad\to\qquad z=\pm i$

no es la excepción a la regla general. No debe perderse de vista el significado preciso de las operaciones matemáticas cuando son realizadas en el campo complejo.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: Un problema muy elemental

Y en complejos también se cumple que $\sqrt{-1}=\pm i$. Aunque es común escribir $i=\sqrt{-1}$ no deja de ser un recordatorio del origen de $i$, pues tanto se cumple que $i^2=-1$ como que $(-i)^2=-1$

Re: Un problema muy elemental

En los números reales $(-1)^{0.5}$ no tiene solución. No es una operación aceptable.

Re: Un problema muy elemental

Lo siento. Debo ser un poco corto de entendimiento pero:

En numeros complejos:

$\dst{(4+3i)^{(1+0i)}=((4+3i)^{(1+2i)})^{(0.2-0.4i)}=(4+3i)}$

$\dst{(4+3i)^{(1+0i)}=((4+3i)^{(0.2-0.4i)})^{(1+2i)}=(4+3i)}$

sale bien tanto con k=0 como con k=1 y me supongo que saldrá bien
para k>1.

Pero en numeros enteros, reales, ´unidimensionales´:

$\dst{((-1)^2)^{0.5}=\pm 1}$

$\dst{((-1)^{0.5})^2=- 1}$

No sale bien...
Gracias. Un saludo.

[Marce_]

Re: Un problema muy elemental

Perdonad que aporte, pues creo que lo esencial ya está dicho. Sólo es por aclarar a nuestro amigo FPVI que en realidad ya está acostumbrado a que una potencia no entera no sea única, pues de toda la vida escribimos eso de $\sqrt{4}=\pm 2$. En esencia, en su pregunta inicial sucede lo mismo: $((-1)^2)^\frac{1}{2}=1^\frac{1}{2}=\pm 1$.

Más claro imposible. Aunque sinceramente me provoca un nudo en el estomago ver el (-) sin recurrir a los complejos, es lisa y llanamente la definición de la raíz cuadrada o raíces pares.

$$\sqrt{1} = x \Longleftrightarrow x^2 = 1$$

Y no se va el nudo eh!.

Un abrazo.

[arivasm]

Re: Un problema muy elemental

Perdonad que aporte, pues creo que lo esencial ya está dicho. Sólo es por aclarar a nuestro amigo FPVI que en realidad ya está acostumbrado a que una potencia no entera no sea única, pues de toda la vida escribimos eso de $\sqrt{4}=\pm 2$. En esencia, en su pregunta inicial sucede lo mismo: $((-1)^2)^\frac{1}{2}=1^\frac{1}{2}=\pm 1$.

Re: Un problema muy elemental

Gracias. SI, no tengo claras las operaciones con complejos.
Me da la impresión que estoy usando solo la solución con k=0 y aquí hay
infinitas * infinitas soluciones.
Voy a comprobar si la solución con k =1 funciona.
Un saludo.

Re: Un problema muy elemental

No entiendo que es lo que quieres que te diga, creo que ya te han explicado más de lo que necesitas saber, si con lo que te han dicho sigues teniendo dudas por mucho que yo te aclare seguirás teniéndolas, y eso es porque no tienes claras las operaciones matemáticas que se hacen con los números complejos.

[Marce_]

Re: Un problema muy elemental

El problema es que un complejo (distinto de cero) elevado a otro complejo, da como resultado general infinitos complejos (si, es realmente poco intuitivo). La acción de elevar un complejo a la "uno" es un caso particular en el que la respuesta si es única y es coherente con el resultado que se obtiene operando en los reales.


La acción de elevar un complejo a otro complejo se define como:

$$z_{1}^{z_{2}} = \ee^{z_{2} \ln(z_{1})} \quad , \quad z_{1} \neq 0$$

Elijamos por ejemplo $\dst z_{1} = i$ y $\dst z_{2} = 1-i$:

$$i^{1-i}= \ee^{(1-i)\ln(i)} = \ee^{(1-i) [ln(1) + i (\frac{\pi}{2} + 2k \pi)]}$$

$$= \ee^{i(\frac{\pi}{2} + 2k \pi)} \cdot \ee^{(\frac{\pi}{2} + 2k \pi)} = \ee^{i( \frac{\pi}{2})} \cdot \ee^{(\frac{\pi}{2} + 2k \pi)}$$

Lo cuál da infitos complejos que difieren en módulo, todos sobre el eje imaginario.


Si hacemos $\dst z_{2} = 1$ :

$$i^{1}= \ee^{\ln(i)} = \ee^{[ln(1) + i (\frac{\pi}{2} + 2k \pi)]}$$

$$= \underbrace{\ee^{0}}_{=1} \cdot \ee^{i(\frac{\pi}{2} + 2k \pi)}= 1\ee^{i( \frac{\pi}{2})} = i$$

Un abrazo.-

Re: Un problema muy elemental

Perdon. No se si me he equivocado o no estamos hablando de lo mismo.
Pero, a mi me sale que:
En numeros complejos, exponente complejo de exponente complejo SI es
producto de exponentes complejos...

Por ejemplo:

$\dst{(4+3i)^{(1+0i)}=((4+3i)^{(1+2i)})^{(0.2-0.4i)}=(4+3i)}$

$\dst{(4+3i)^{(1+0i)}=((4+3i)^{(0.2-0.4i)})^{(1+2i)}=(4+3i)}$

$\dst{(1+2i) (0.2-0.4i)=(1+0i)}$

Gracias y un saludo.

[Marce_]

Re: Un problema muy elemental

Hola!


La esencia del problema en reales ya la dijo Angel. La acción de elevar ambos miembros de una ecuación a una potencia par induce a obtener soluciones extrañas. Desde el punto de vista de los complejos, el problema es la igualdad de los mismos, que hace que $\dst \sqrt{z^{2}}$ tenga dos soluciones distintas en el dominio dado por la rama (por ejemplo) $\dst 0\leq \theta< 2\pi$, lo cuál en este caso sería dentro del círculo unitario sin dar una vuelta completa (sin repetir raíces).


En complejos se diferencia lo que es la potenciación de la radicación (la radicación se define a partir de la potenciación). Sea $\dst z= \rho \ee^{i \theta}$:

$$\Rightarrow -1= 1\ee^{i\pi}$$

$$(-1)^2 \underbrace{=}_{\text{rta unica}} 1^{2} \ee^{2i\pi} \overbrace{=}^{\text{rama del argumento elegida}} 1 \ee^{i0}$$

$$\sqrt{z^{2}}= w \Longleftrightarrow w^{2} = z^{2} = 1 \ee^{i0}$$

Entonces:

$$\gamma^{2} \ee^{i 2 \alpha} = 1 \ee^{i0}$$

Por igualdad de complejos:


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Las raíces son:

$$\begin{aligned}<br /> w_{0} &= 1 \ee^{i0}= 1 \\<br /> w_{1} &= 1 e^{i \pi} = -1 <br /> \end{aligned}$$

Por eso se dice que $\dst \sqrt{z^{2}} \neq z$. O más general aún: $\dst \sqrt[n]{z^{m}} \neq \left(\sqrt[n]{z}\right)^{m}$


Un abrazo.-