1r ciclo Cómo acotar una función de dos variables

[xen]

Hola.

Por favor necesito ayuda para resolver una demostración y no encuentro la estrategia adecuada. Alguien sabe indicarme de qué manera puedo obtener la siguiente expresión:

$\frac{1}{6} \leqslant \frac{1}{1+x^2+y^2} \leqslant \frac{1}{2}$

Gracias.

[visitante20160513]

Re: Cómo acotar una función de dos variables

Suponiendo que $x$ e $y$ pueden tomar valores cualesquiera la inecuación anterior es falsa porque para valores muy alejados del origen de ambas variables la función del término central se hace tan próxima a 0 como queramos. Por ejemplo:

Para $x^2+y^2>5$ la función se hace menor que $1/6$ lo que contradice la primera desigualdad.

Y al revés, para puntos cercanos al origen tenemos:

Para $x^2+y^2<1$ la función se hace mayor que $1/2$ lo que contradice la segunda desigualdad.

que es lo mismo que afirmar que la inecuación anterior solo se cumple en los puntos de una corona circular de radios $1$ y $\sqrt{5}$, por lo tanto fuera de esos puntos la inecuación es falsa.


Salu2, Jabato.

[Marce_]

Re: Cómo acotar una función de dos variables

Quizás te ayude a verlo mejor analiticamente recurriendo a las coordenadas polares:

$$x= \rho \cos (\theta) \quad , \quad y= \rho \sin (\theta) \quad , \quad x^2 + y^2= \rho^{2}$$

$$\frac{1}{6} \leq \frac{1}{1+\rho^2} \leq \frac{1}{2}$$

$$2 \leq 1+\rho^2 \leq 6$$

$$1 \leq \rho^2 \leq 5$$

$$S= \{ x,y \in \mathbb{R} / 1 \leq x^2 + y^2 \leq 5\}$$

Un abrazo.-

[xen]

Re: Cómo acotar una función de dos variables

Había olvidado describir el conjunto de puntos donde se define la función y en los que se cumple la desigualdad. Gracias a ambos.