1r ciclo Integral impropia - Lema de Jordan

[Bustikiller]

¡Buenas! Tengo un ejercicio que estoy resolviendo mal y no sé dónde estoy metiendo la pata. A ver si me podéis ayudar.

$$\int_0^\infty \frac{cos (ax)}{x^2+1}$$

con a>0

NOTA: Como la función es par, la evaluación de la integral de 0 a inifinito es la mitad de la evaluación de la integral en toda la recta real.

Interpreto la función como una función de variable compleja, y utilizando el teorema de los residuos,

$$\int_C f(z) dz + \int_{-\infty}^{\infty} f(z) dz = 2 \pi i Res_{z=i} f(z)$$

Utilizando el Lema de Jordan se obtiene que la integral en C es nula, por lo que obtenemos:

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(z) dz = 2 \pi i Res_{z=i} f(z)$$

Creo que mi problema viene a la hora de hallar el residuo. Lo hago de la siguiente manera:

La función f(z) puede expresarse como:

$$f(z) = \frac{\phi(z)}{z-i}$$

donde

$$\phi(z) = \frac{cos (az)}{z+i}$$

, analítica y no nula en z=. Por tanto, z = i es un polo simple y su residuo viene dado por:

$$Res_{z=i} f(z) = \phi (i) = \frac{cos (ai)}{2i} =-\frac12 i cosh(a)$$

Por tanto el valor de la integral es:

$$\int_0^\infty \frac{cos (ax)}{x^2+1} = 2 \pi cosh(a)$$

No obstante, el resultado de la integral debería ser:

$$\int_0^\infty \frac{cos (ax)}{x^2+1} = \frac{\pi}{2 }e^{-a}$$

¿Dónde estoy fallando? Muchas gracias

[Umbopa]

Re: Integral impropia - Lema de Jordan

Creo que el error está en que estas aplicando el lema de Jordan a una función no adecuada.

Ha de ser del tipo :

$\lim_{R \to \infty} \int_{C_R} \exp(i a z) \frac{p(z)}{q(z)} dz = 0$

Es decir tienes que hacer la integral siguiente :

$\oint \frac{exp(i a z)}{z^2+1}=$ ... Residuos

Y de lo que te salga después deduces el resultado de la integral impropia con

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{exp(i a x)}{x^2+1} = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{cos(a x)}{x^2+1} + i \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(a x)}{x^2+1}$

igualando parte real y parte imaginaria

[Bustikiller]

Re: Integral impropia - Lema de Jordan

Se me ha olvidado ponerlo en el post anterior. En realidad estoy aplicando el lema de Jordan a la siguiente función:

$$\int_C f(z) dz =\int_C \frac{cos (az)}{z^2+1} dz =\int_C Re [\frac{e^{i a z}}{x^2+1} dz] = Re \int_C [\frac{e^{i a z}}{x^2+1} dz]$$

Evalúo la última integral con el Lema de Jordan y obtengo que es cero. Por tanto, su parte real también lo es. En ese caso estaría aplicando bien el Lema de Jordan, ¿no? Vamos, creo que tengo que utilizar el Lema de Jordan porque es un ejercicio del apartado del libro en el que se explica este lema...

Gracias

[Umbopa]

Re: Integral impropia - Lema de Jordan

Intenta hacerla como te digo y veras como te sale.

Utiliza el lema de jordan pero para integrar la función $\frac{exp(i a z)}{1+z^2}$ , con la función $\frac{cos(a z)}{1+z^2}$ el lema no es válido

Además mira el desarrollo que has hecho no es cierto (el tercer paso no tiene sentido)

$Re [ \frac{exp(i a z)}{z^2+1}] \neq \frac{cos(a z)}{z^2+1}$

[Bustikiller]

Re: Integral impropia - Lema de Jordan

Buenas,

¿De dónde saco que

$$\oint \frac{e^{i a z}}{z^2+1} = 2 \pi i Residuos$$

?

Por otro lado,

$$e^{iaz} = cos(az) + i sen (az) \Rightarrow Re(e^{iaz}) = cos (az)$$

¿No es cierto?

Saludos

[Umbopa]

Re: Integral impropia - Lema de Jordan

$cos(a z)$ es un numero complejo

$Re(exp(i a z))$ es un número real

$Re(z_1 + i z_2) \ne z_1$ cuando $z_1$ y $z_2$ son números complejos...

Y se aplica el lema de Jordan para este ejemplo de la siguiente forma

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{cos(a x)}{1+x^2} dx = Re \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{exp(i a x)}{1+x^2} dx \right]$

$f(z) = \frac{exp(i a z)}{1+z^2}$

$Res[f(i)] = \left[ \frac{exp(i a z)}{z+i} \right]_{z=i} = \frac{exp(-a)}{2i}$

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{exp(i a x)}{1+x^2} dx = 2 \pi i \cdot \frac{exp(-a)}{2i} = \pi exp(-a)$

[Bustikiller]

Re: Integral impropia - Lema de Jordan

Buenas,

Creo que ya he entendido lo que me querías decir, el tema es plantear desde el principio el ejercicio como si estuvieses evaluando la integral de la función

$$f(x) = \frac{e^{iaz}}{z^2+1}$$

de forma que

$$\int_C \frac{e^{iaz}}{z^2+1} + \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{iax}}{x^2+1} = 2 \pi i Res_{z=i} ( \frac{e^{iaz}}{z^2+1})$$

Al aplicar el Lema de Jordan sobre la integral en C, se obtiene que esta es cero, por lo que

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{iax}}{x^2+1} = 2 \pi i Res_{z=i} ( \frac{e^{iaz}}{z^2+1})$$

Si se calcula el residuo anterior sobre la función con la exponencial (en lugar de hacerlo con el coseno como lo estaba haciendo yo),

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{iax}}{x^2+1} = 2 \pi i \frac{e^{-a}}{2i} = \pi e^{-a}$$

Como la evaluación de la integral tiene los límites 0 e $\infty$,

$$\int_0^{\infty} \frac{e^{iax}}{x^2+1} = 2 \pi i \frac{e^{-a}}{2i} = \frac{\pi}2 e^{-a}$$

Finalmente, como x es una variable real, al obtener las partes reales de ambos lados de la ecuación obtenemos:

$$\int_0^{\infty} \frac{cos (ax)}{x^2+1} = \frac{\pi}2 e^{-a}$$

que es la solución deseada.

Por último, Atrode, muchas gracias por tus indicaciones, me han servido de gran ayuda, aunque la parte de "amigo" que ya has editado no me ha sentado bien. Me alegro de que te hayas dado cuenta

Gracias de nuevo

[Umbopa]

Re: Integral impropia - Lema de Jordan

Sí he sido un poco grosero por eso lo he borrado, lo siento.

El tema es que

$\lim_{R \to \infty} \int_{C_R} \exp(i a z) \frac{p(z)}{q(z)} dz = 0$

pero

$\lim_{R \to \infty} \int_{C_R} cos(a z) \frac{p(z)}{q(z)} dz \neq 0$

[Bustikiller]

Re: Integral impropia - Lema de Jordan

Es cierto, la verdad es que tenía un poco de lío, pero es cierto que igual que

$$e^{i x} = cos (x) + i sen (x)$$

con x variable real,

$$e^{i z} \neq cos (z) + i sen (z)$$

con z variable compleja

Gracias de nuevo