1r ciclo Función analítica solución de ecuación de Laplace

[SCHRODINGER27]

Hola buenas,
Tengo que resolver un ejercicio de Análisis Complejo, y como es el primer ejercicio que hago de esto, no sé muy bien por dónde empezar ni cómo tomarlo. Tengo algunas ideas sueltas de clase, pero poco más. Agradecería vuestra ayuda.

El ejercicio dice así:

"Sea f : D $\to$ una función analítica en la región D. Si f=u + iv, demuestre que tanto u(x,y) como v(x,y) son soluciones de la ecuación de Laplace en D (son funciones armónicas):

${\nabla}^{ 2} u = {\nabla}^{ 2} v = 0 ~~ ; \forall (x,y) \epsilon D$

${\nabla}^{ 2} = \frac{{\partial}^{ 2 }}{ \partial {x}^{2}} + \frac{{\partial}^{ 2 }}{ \partial {y}^{2}}$


Muchas gracias

[sater]

Re: Función analítica solución de ecuación de Laplace

Si es analítica satisface las ecuaciones de Cauchy- Riemman. Prueba con eso a ver, creo que debe ser así.

[SCHRODINGER27]

Re: Función analítica solución de ecuación de Laplace

Una función es analítica cuando es derivable en todo el intervalo, ¿no? Vale, satisface las condiciones de cauchy-riemann pero, ¿y cómo hallo de ahí que u(x,y) y v(x,y) son soluciones de la ecuación de Laplace?

[sater]

Re: Función analítica solución de ecuación de Laplace

Tienes esto: $u_x = v_y$ y $u_y = -v_x$. Mira a ver que pasa con $u_{xx} + u_{yy}$ ( y lo mismo luego con la v)

[SCHRODINGER27]

Re: Función analítica solución de ecuación de Laplace

gracias