1r ciclo Demostracion Suma de Riemann

[Enphym]

Hola a todos.
Sucede que debo demostrar la siguiente igualdad

$\lim_{n \to \infty}\sum_{\hat{\imath} = 1}^\infty\frac{\hat{\imath}}{n\sqrt{{{\hat{\imath}}^{ 2}}+{n}^{2 }}}=\sqrt{2}-1$

Intente resolverla, pero no se como aplicar la sumatoria de los n primeros enteros positivos cuadrados, puesto que la tengo dentro del radical. Es decir al trabajar la expresion llego a un punto en que me bloqueo y no se que paso dar.
Agradezco su colaboracion indicandome que paso debo seguir.

Saludos

[Jose D. Escobedo]

Re: Demostracion Suma de Riemann

Trata con esta integral

$\dst\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{x^2+ 1} }dx$

Luego divide el intervalo [0,1] en "n" pedacitos, es decir $\dst\frac{1}{n}$ y luego sustituye $x=\dst \frac{k}{n}$ en $\dst\frac{x}{ \sqrt{x^2 + 1}}$

Sumando las pequeñas áreas de los rectangulos:

$\dst\frac{1}{ n} \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{(\frac{1}{n})^2 +1}} + \frac{1}{n} \frac{\frac{2}{n}}{\sqrt{(\frac{2}{n})^2 +1}} + ...$

Luego de esta idea concluye ....

Saludos

[Enphym]

Re: Demostracion Suma de Riemann

Gracias Jose, resolvi y llegue a la sumatoria, pero mi pregunta es que análisis hiciste para partir desde esa integral definida.

[Jose D. Escobedo]

Re: Demostracion Suma de Riemann

Factorizas $n$ de $\dst \sqrt{ i^2 + n^2}$, y luego $\dst \frac{i}{n} = x_i$