Secundaria Demostración gradiente en coordenadas esféricas

[alexpglez]

Hola, he estado buscando y no he encontrado ninguna explicación por internet, solo la fórmula, que aunque me la creo, también creo que se memoriza mejor aprendiendo de donde viene.
Hice unos cálculos semiintuitivos de sacar primero las derivadas parciales con respecto a x y z.
$\frac{\partial f} {\partial r} = \frac{\partial f} {\partial x} \frac {\partial x} {\partial r} + \frac {\partial f} {\partial y} \frac {\partial y} {\partial r} + \frac {\partial f} {\partial z} \frac{\partial z}{\partial r}$
Así con los demás consigo hacer un sistema de tres incógnitas, saca derivada de f con respecto a x etc. y después los sustituyo en la ecuación del gradiente. Pero no me ha salido. Estaría bien así, o habría una forma más eficaz de resolver el problema ¿?.

Gracias

[javier m]

Re: Demostración gradiente en coordenadas esféricas

En los libros de física matematica tipo arfken lo hacen general, es decir, con factores de escala.

[fadedu]

Re: Demostración gradiente en coordenadas esféricas

Se demuestra partiendo de la definición de derivada como límite y considerando que ya que la función depende de dos variables hay que usar la regla de la cadena:
$\begin{aligned} & \\g(t)=f(x,y)=f(x(t),y(t))\\<br /> \frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} t}=\lim_{h \to 0} \frac{f[x(t+h),y(t+h)]-f[x(t),y(t)}{h}\\<br /> ...\\<br /> =\lim_{h \to 0}\frac{f(g(x+h)-f(g(x))}{h}\\<br /> =f'(g(x))\cdot g'(x)\\<br /> =\frac{\partial f}{\partial x } \frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y } \frac{\partial y}{\partial t}<br /> \end{aligned}<br />$
Y así para dos, tres, cuatro... variables.

- - - Actualizado - - -

También se puede usar el rombo aquel en el que cada punta tiene f(x,y), x, y, t respectivamente, con f y t opuestas. Para llegar de f a t hay que derivar respecto a los pasos intermetidos (puntas x, y) y sumar todos los caminos.

[Samir M.]

Re: Demostración gradiente en coordenadas esféricas

Se puede hallar fácilmente comparando el vector posición en coordenadas cartesianas con el vector posición en coordenadas esféricas y análogamente, el gradiente en coordenadas cartesianas y coordenadas esféricas.