1r ciclo Invertir una serie de potencias

[morphete]

Buenas, dispongo de una fórmula para invertir una serie de MacLaurin de la forma:

$y= a_1 x+a_2 x^2 + a_3 x^3 \cdots$

Dónde la serie invertida es:

$x= b_1 y+b_2 y^2 + b_3 y^3 \cdots$

Donde $b_1 =1/a_1 \, , \, b_2 = -a_2 / a_1^3$, etc.

Me gustaría saber cómo puedo hacer para invertir una serie de la forma:

$y= a_0 + a_1 x+a_2 x^2 + a_3 x^3 \cdots$

cuando $a_0 \neq 0$ y/o $a_1 =0$

Muchas gracias por adelantado. Un saludo

[arivasm]

Re: Invertir una serie de potencias

Desconozco la fórmula que mencionas, pero la cuestión es otra: siempre puedes definir una función $z=y-a_0$ y entonces $z=a_1x+a_2x^2+...$ es de la forma adecuada para que le apliques la fórmula que citas, que conduciría a $x=b_1z+b_2z^2+...=b_1(y-a_0)+b_2(y-a_0)^2+...$

Por cierto, ¿podrías dar alguna indicación sobre esa fórmula que dices?

[morphete]

Re: Invertir una serie de potencias

Buenas, gracias por la ayuda. La fórmula se encuentra en el "Formulas y tablas de matemática aplicada, de Murray R. Spiegel. en la sección de series de Taylor (en la segunda ed. revisada está en la página 133). Esa fórmula simplemente te da los coeficientes de la serie invertida en función de los coeficientes de la serie original. El problema es que el primer coeficiente es la inversa del primer coeficiente de la serie original, por lo que si es 0 ya no sirve. Es decir ya no podría hacer ninguna serie par.

Por ejemplo, supongamos que tenemos que invertir $y= \cos x = 1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$ . ¿Cómo puedo hacerlo? He intentado hacer lo siguiente:

$y = \frac{1}{x} \left( x-\frac{x^3}{2!} + \frac{x^5}{4!} - \cdots \right)$

Ahora con la fórmula ya puedo invertir la serie entre paréntesis, que da $x= y-\frac{y^3}{2} + \frac{17y^5}{24} - \cdots$
y ya no se me ocurre cómo continuar. Alguna ayuda?

[arivasm]

Re: Invertir una serie de potencias

En primer lugar, perdona por mi mala ayuda, por haber pasado por alto ese posible "y $a_1=0$". La verdad es que en el libro, según acabo de ver, no menciona que deba ser $a_1\neq 0$, pero parece que debe ser una condición indispensable para que el método pueda ser aplicable.

Respecto de lo que propones, que equivale a manejar $z=xy$, no veo que conduzca a una solución, pues llegarás a una serie implícita, en la que no hay forma de despejar la $x$, pues será de la forma $x=C_1 xy+C_2(xy)^2+...$

Quizá una salida sea ésta: puesto que quieres invertir recurriendo a ese método la serie de $y=\cos x$ se puede recurrir a que si $z=\frac{\pi}{2}-x$ entonces $y=\sin z$ que sí puedes invertir inmediatamente con dicho método, para obtener $z=C_1y+C_2y^2+...$con lo que sólo quedará hacer $x=\frac{\pi}{2}-z=\frac{\pi}{2}-C_1y-C_2y^2-...$

A ver si algún otro compañero echa una mano...

[Samir M.]

Re: Invertir una serie de potencias

Hola, echadle un ojo a esto: http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_inversion_theorem

[arivasm]

Re: Invertir una serie de potencias

Hola, echadle un ojo a esto: http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_inversion_theorem

¿Y cómo se aplicaría al caso de invertir la serie de $y=cos x$?

[Samir M.]

Re: Invertir una serie de potencias

No tengo casi tiempo, ya lo siento, en cuando saque un rato le echo un ojo.

[Breogan]

Re: Invertir una serie de potencias

Hola:

Dada la serie:

$\dst y(x) = a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ...$

existe la inversa si $a_1 \neq 0$, y es:

$\dst y(x) = A_1 x + A_2 x^2 + A_3 x^3 + ...$

y los $A_i$ deben cumplir que:

$\dst a_1^{(2 i - 1)} \ A_i \ = \ P^{i-1} (a_j})$

donde $P^{i-1} (a_j})$ es un polinomio de grado (i-1), y que contiene los coeficientes $a_j \ \forall \ j \ \leqslant \ i$. Perdón pero no se la formula de recurrencia de estos polinomios, ni como escribir lo anterior en una forma matemática rigurosa.
Lo anterior es importante para ver que: para que existan los coeficientes de la serie inversa solo es necesario que se cumpla que $a_1 \neq 0$, ya que los polinomios antes nombrados no pueden tender a infinito si los aj no lo hacen. Creo!!!

Respecto a tu problema:

$\dst y= \cos x = 1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac {x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n = 0}^\infty \frac {(-1)^n}{(2 n)!} x^{2 n}$

Primero haces lo que sugirió arivasm, pasas el 1 restando al otro miembro y llamas u = y - 1, quedando:

$\dst u = y - 1 = \cos x - 1 = -\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac {x^6}{6!} + \cdots$

luego haces el cambio de variable $v = x^2$, quedando:

$\dst u = -\frac{v}{2!} + \frac{v^2}{4!} - \frac {v^3}{6!} + \cdots$

donde:

$\dst a_1 = - \frac 1 {2!} \quad a_2 = \frac 1 {4!} \quad a_3 = - \frac 1 {6!} \quad \ldots$

quedando una serie perfectamente invertible, no voy a hacer las cuentas pero debería quedar de la forma:

$\dst v = A_1 u + A_2 u^2 + A_3 u^3 + \ldots$

deshaciendo los cambios de variables:

$\dst x^2 = A_1 (y - 1) + A_2 (y - 1)^2 + A_3 (y - 1)^3 + \ldots$

Ojo!, no es que sepa del tema, pero es como yo lo encararía. Sugiero esperar la confirmación o no de otros foreros.

s.e.u.o.

Suerte

[Samir M.]

Re: Invertir una serie de potencias

Me alegro de que lo hayáis solucionado. No he podido todavía ni mirar lo que posteé aquél día, disculpas.