1r ciclo Serie de Fourier del seno cuadrado

[Visitante]

Hola

En un ejercicio me piden calcular la serie de Fourier del sen^2(x), y el solucionario pone que la solución es 1/2(1-cos2x), la típica conversión del seno al cuadrado que se hace para la integral. No sé cómo se llega a ese resultado mediante series de Fourier, ya que el término a0 me da, evidentemente, la integral del seno al cuadrado, que es 1/2(x-senxcosx), así que no se si es una pregunta trampa o es tan evidente que se me escapa, porque en internet tampoco encuentro este ejercicio resuelto y me parece raro.

Gracias.

[Alriga]

La expresión genérica del desarrollo en serie de Fourier:

$$\dst f(x) \approxeq S(x)= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{2n\pi}{T}x + b_n\sin\frac{2n\pi}{T}x\right)$$

$\dst a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos \left( \frac{2n \pi}{T} x \right) dx$

$\dst b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin \left( \frac{2n \pi}{T} x \right) dx$

Vamos a ver que para hallar la serie de Fourier del seno al cuadrado no es necesario realizar ninguna integral para hallar los coeficientes $a_n$ y $b_n$ , es suficiente proceder como sigue: partiendo de la expresión del coseno de una suma, que se demuestra en el bachillerato:

$\cos(x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$

Demostramos la expresión del coseno del ángulo doble haciendo $y=x$:

$\cos 2x=\cos^2x-\sin^2 x$

Recordando la relación trigonométrica fundamental:

$\cos^2x=1-\sin^2x$

Sustituyendo en la anterior:

$\cos 2x=1-2\sin^2 x$

Despejando:

$$\sin^2 x=\dfrac 1 2 -\dfrac 1 2 \cos 2x$$

Esta expresión del seno al cuadrado, es evidente que también la podemos escribir así:

$$\sin^2x=\dfrac 1 2 -\dfrac 1 2 \cdot\cos2x+0\cdot\sin 2x+0\cdot\cos 4x+0\cdot\sin 4x+0\cdot\cos 6x+0\cdot\sin 6x+ \dots$$

La función seno al cuadrado es de período $T=\pi$ , por lo tanto aplicando la definición (1) de Serie de Fourier se deberá obtener:

$$\sin^2x=\dfrac{a_0}2 +a_1 \cdot\cos2x+b_1\cdot\sin 2x+a_2\cdot\cos 4x+b_2\cdot\sin 4x+a_3\cdot\cos 6x+b_3\cdot\sin 6x+ \dots$$

Ya está. Ahora tan solo hay que recordar que el desarrollo en serie de Fourier de una función, cuando existe (y siempre existe para funciones periódicas derivables como el seno al cuadrado), es único.

Identificando coeficientes entre (2) y (3) podemos por lo tanto afirmar que el desarrollo en serie de Fourier del seno al cuadrado es:

$$\sin^2 x=\dfrac 1 2 -\dfrac 1 2 \cos 2x$$

Y sin haber hecho ninguna integral para calcular los coeficientes. Saludos.