Divulgación Integral múltiple

[The Higgs Particle]

Hola, he oído vagamente hablar de las integrales múltiples (según me han contado, son aquellas que tienen $\iint [f(x) dx]$), y me gustaría saber (a nivel divulgativo) qué son en realidad y cómo se calculan (las más simples, claro).

Muchas gracias!!

[PedroAAI]

Re: Integral múltiple

Hola Higgs, básicamente las integrales múltiples tienen la misma esencia que la integrales normales sólo que está hechas para funciones de más de una variable. Por ejemplo, si tienes una función $f(x,y)$ y haces la integral doble sobre un intervalo $\iint_S f(x,y) dx dy$ obtendrás el volumen bajo la superficie que define esta función en este intervalo. En la página de la wikipedia tienes más información http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_m%C3%BAltiple.

En general para entender bien este tipos de integrales antes debes estar familiarizado con funciones de más de una dimensión (que no se dan en el instituto), pero básicamente la idea es la misma.

EDITO: En este vídeo de youtube tienes un ejemplo de como calcular una integral triple https://www.youtube.com/watch?v=xOsGfaACbNQ. En esta óptima página de khan academy tienes más ejemplos muy bien explicados de como realizar integrales múltiples https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus . Suerte!

Un saludo.

- - - Actualizado - - -

En la página de youtube que te pasé de khan academy ya estaba a un nivel más avanzado. Aquí te dejo todo el material por si quieres ver la introducción y entenderlo mejor https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus

[carroza]

Re: Integral múltiple

Hola.

Una integral simple te da el area por debajo de una curva.

Una integral doble te da el volumen por debajo de una superficie.

Por ejemplo, si quieres una forma tan correcta como idiota de calcular el volumen de un cubo de lado uno, integra la función
z(x,y)=1, entre los límites x(0,1) e y(0,1).

$V = \int_0^1 dx \int_0^1 dy \quad z(x,y)$

[visitante20160513]

Re: Integral múltiple

Considera una función cualquiera, del numero de variables que quieras. Supón que está definida en un dominio que es un conjunto del que puedes realizar una partición en un número, $n$, arbitrario de partes "aproximadamente iguales", y que cada una de las cuales puede ser medida con una valor $\mu_i$, y asociar a cada una de esas partes un valor de la función en alguno de sus puntos. Llamemos a cada una de las partes $p_i$ y a su medida $\mu_i$, y al valor de la función asociada a esa parte $f_i$.

Calculemos ahora la suma:

$S=\lim_{n\to \infty}\displaystyle\sum_{i = 1}^n \mu_if_i$

Si la función es integrable dicha suma en el límite alcanza un valor, que es precisamente la integral. Hay algunas cautelas a la hora de implementar esta forma de calcular, pero como solo quieres una explicación a nivel divulgativo esto debería ser suficiente. Esta explicación te vale para cualquier tipo de integral, simple, curvilinea, doble, triple, etc.

Salu2, Jabato.

[alexpglez]

Re: Integral múltiple

Y también está la integral triple, otro caso de integral múltiple. Un ejemplo donde se vea es la densidad. La masa tal y como la enseñan en el instituto es m = p * V o lo que es lo mismo m = p * x * y * z. Pero eso es en caso solo de densidad constante, si la densidad no fuese constante te quedaría.

$$m= \iiint p(x,y,z) \dd x \dd y \dd z$$

Después hay otros tipos de integrales, curvilíneas y de superficie. Y la primera por ejemplo sirve para calcular el trabajo de una partícula siguiendo una trayectoria por un campo de fuerzas, que tiende a una integral simple cuando los campos son conservativos.

$$W = \int \vec F \cdot \dd \vec r$$

Y la de superficie sirve por ejemplo para calcular el flujo de un campo, por ejemplo la ley de gauss que dice que el sumatorio de todas las líneas de campo que pasan por cierta superficie (el flujo total) es igual a la suma de cargas eléctricas que hay dentro de la superficie elegida.

$$\oiint \vec E \cdot \dd \vec S = \frac{q}{\varepsilon}$$

Aunque yo he visto escrito está integral también como si fuese una simple (una curva, no dos), dependerá del autor..
Los círculos significan, en estas últimas dos integrales, que la trayectoria o la superficie es cerrada.

[visitante20160513]

Re: Integral múltiple

En esencia el truco está en dividir el dominio en un número arbitrario de partes aproximadamente iguales y asociar a cada una de esas partes el valor de la función en alguno de sus puntos. Los métodos para calcular la suma en el límite son sencillamente los métodos de integración. Pero esencialmente el concepto de integral es tan solo eso, una suma ponderada. Si sumamos las medidas de cada una de las partes:

$\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty \mu_i=\mu$

obtenemos la medida del dominio de integración, pero si a cada parte la multiplicamos por un valor medio de la función en dicha parte entonces la suma es la integral:

$S=\displaystyle\sum_{n = 1}^\infty f_i\mu_i$

Salu2, Jabato.

- - - Actualizado - - -

Sobre la forma como se hace la partición del dominio de integración y sobre que valor de la función debe asociarse a cada una de las partes hay muchas maneras de realizarlo y depende de la estrategia seguida se definen varios tipos de integrales, pero en esencia la base de todas las formas ha quedado más o menos explicada. ¿Querías algo sencillo y a nivel de divulgación no?

Por ejemplo la integral de Riemann o la de Lebesgue para funciones de una variable son dos ejemplos típicos de integrales sencillas cada una con su forma de establecer la partición del dominio y de asociar un valor de la función a cada parte, aunque probablemente aún no las conozcas a fondo. No son las únicas formas de integrar una función, pero son quizás las más elementales y las más conocidas. Ten paciencia que todo llegará, de momento la idea básica creo que te será útil si eres capaz de entenderla.

Salu2, Jabato.