Secundaria Duda con inecuación de segundo grado

[Ninsubur]

Hola, tengo un problema con la siguiente inecuación. La tengo resulta en el libro de texto pero no logro entender como la resuelven, si pudierais echarme una mano, gracias:

$2x^2-4x+1>0$

Si resuelvo la ecuación de segundo grado da:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y en el libro lo que hacen es transformarlo en esto:

$(x-1+\frac{1}{2}{\sqrt 2}) (x-1-\frac{1}{2}{\sqrt 2}) > 0$

Hasta aquí lo entiendo. Pero no entiendo la asignación de intervalos aquí para dar la solución final.


Normalmente las inecuaciones de segundo grado las resuelvo resolviendo la ecuación y con las soluciones que me da hago lo de trazar la recta de números reales y dar valores entre los intervalos para ver cual es el conjunto solución (los intervalos). En este caso cogería valores entre menos infinito y -1'7, entre -1'7 y -0'29, y entre -0'29 e infinito (valores aproximados), y sustituirlos en la inecuación original para ver si se cumple. ¿Es correcta esta forma de hacerlo? porque con lo del libro no entiendo nada. Dicen que el intervalo solución es este:

$(-\infty, 1-\frac{1}{2}{\sqrt 2}) U (1+\frac{1}{2}{\sqrt 2}, \infty)$


Pero a mi me da que el intervalo es todo R de la otra forma.

Gracias de antemano.

[The Higgs Particle]

Re: Duda con inecuación de segundo grado

He descompuesto el polinomio $2{x}^{2} -4x + 1$ y me sale lo mismo que a ti. Sin embargo, por efectos prácticos, lo voy a poner en decimales, por lo tanto: $2{x}^{2} -4x + 1 = (x - 0,29) \cdot (x - 1,71) \to (x - 0,29)(x - 1,71) > 0$. Date cuenta que las soluciones de la ecuación deben ser cambiadas de signo ya que es $(x - a)$, donde $a$ es la raíz del polinomio (o una de ellas). Para saber el signo del polinomio, hago una tabla de valores:

Esta tabla de valores está dividida en 3 intervalos, marcando como separación los valores de la $x$ en los cuales el polinomio se hace cero.
Como se puede ver en ella, en el intervalo $(- \infty , 0,29)$, ambos son negativos. Pero como se están multiplicando, menos por menos es más. De esta forma, el polinomio $P (x)$ nos queda positivo en ese intervalo. El razonamiento es el mismo en el resto de intervalos.

Por ello, podemos afirmar que se cumple que $2{x}^{2} -4x +1 > 0$ $\forall$ $x \epsilon$ $(- \infty, 0,29)$ U $(1,71, \infty)$.

Un saludo.

[Ninsubur]

Re: Duda con inecuación de segundo grado

Muchas gracias por la explicación, hace tiempo que no estudio matemáticas y estoy un poco torpe, no había caído en lo del cambio de signo. Saludos