Avanzado Dibujar la funcion Zeta de Riemann

[Visitante]

Buenas noches.
Pretendo dibujar la funcion Zeta de Riemann de la misma forma
que he dibujado la funcion Zeta de Euler. (Ver grafico adjunto).
He empezado por dibujar la funcion Zeta de Euler.

$\dst{\zeta(zr,zi)={\prod_{p\in{P}{}}{\sum_{k\geq0}}(p^k)^{-(zr,zi)}}$

Pero me he encontrado que solo funciona bien cuando Zr>1.
Cuando 0<Zr<1, la funcion, se ´desmadra´...
Y cuando Zr<0, la funcion vale infinito para todos los casos que he
probado.
Y esto se parece pero no es la famosa funcion Zeta de Riemann.
He encontrado que la funcion Zeta de Riemann vale:

$\dst{\zeta(s) \Gamma(\frac{s}{2})\pi^{-\frac{s}{2}}= \zeta(1-s) \Gamma(\frac{1-s}{2})\pi^{-\frac{1-s}{2}}}$

o bien:

$\dst{\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}sen(\frac{\pi }{2}s)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)}$

Pero ahora me encuentro que si para calcular Zeta(s) debo saber
cuanto vale Zeta(1-s) estoy en un bucle sin salida...
No creo que tenga problemas para calcular la funcion Gamma ni
elevar pi a cualquier numero complejo.
Alguien sabe como calcularla?
Un saludo.

[jinawee]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

La función se desmadra porque esa representación solo vale para números con parte real mayor que uno. Lo otro que has puesto es la ecuación functional que verifica. Para hacer la gráfica creo que deberías buscar otra representación.

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

He encontrado otra funcion:

$\dst{\zeta(s)=(1-2^{(1-s)})^{-1}\sum_{n=0}^\infty{}(2^{(n+1)})^{-1}\sum_{k=0}^n{}(-1)^k\displaystyle\binom{n}{k}(k+1)^{-s}}$

Esta es debida a Konrad Knopp.

Si funciona bien para valores de -10<zr<10 y -50<zi<50 me daré por satisfecho. (Me parece una función relativamente
fácil para calculo numérico. Solo es cuestión de donde voy a aproximar con n=inf. y tiempo de maquina).
¿Intento desarrollar el programa o esta función no es buena y busco otra forma?
Gracias y un saludo.

[Samir M.]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

No sé mucho (casi nada) de algoritmos para plotear, así que te hablaré de la función y ya decides. Esa función es globalmente convergente $\forall s \in \mathbb{C} - \left\{ 1 + \frac{i2\pi n} {log (-2)}\right\}, \, n \in \mathbb{Z}$. En cambio, la siguiente función sí que converge globalmente:

$\displaystyle\zeta(s)=\frac{1}{s-1}\sum_{n=0}^\infty{}\frac{1}{n-1}\sum_{k=0}^n{}\binom{n}{k} \frac{(-1)^k}{(k+1)^{s-1}}$

Creo que la siguiente manipulación debería hacer el algoritmo que plantees converger más rápido. Sea

$\displaystyle P_n(x) = \sum_{j=1}^n a_j x^j$

un polinomio arbitrario de grado $n$ tal que $P_n(x) \neq 1$. Definamos

$\displaystyle c_k = (-1)^k \left ( \sum_{j=0}^k (-1)^j a_j - p_j (-1) \right )$

y cojamos como definición alternativa de la función zeta de riemann la formada por las series p. Entonces

$\displaystyle\zeta(s)= \frac{-1}{1 - 2^{1-s} p_n (-1)} \sum_{j=0}^{n-1} \frac{c_j}{(1+j)^s} + \xi_n(s)$

con

$\displaystyle \xi_n(s) = \frac{-1}{1 - 2^{1-s} p_n (-1)} \frac{1}{\Gamma{s}} \int_0^1 \frac{p_n(x) |\log{x}|^{s-1}}{1+x}dx$

La idea es que el error debido a la integral de $\xi_n(s)$ dividido por $p_n(-1)$ sea tan pequeño como sea posible. Yo intuyo (por lo que he desarrollado y por lo que he leído) que los polinomios de Chebyschev ajustados al intervalo de la integral podrían ser una muy buena opción.

Saludos.

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Una pregunta. En la primera formula del mensaje anterior, el primer sumatorio no debería ser
de n=2 a infinito?
Porque creo que tal como esta escrita, la función Zeta(s) dará infinito en todos los casos.
Gracias y un saludo.

[Samir M.]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Sí, perdona, hay una errata en un signo:



$\displaystyle\zeta(s)=\frac{1}{s-1}\sum_{n=0}^\infty{}\frac{1}{\underbrace{\cancel{n-1}}_{{n+1}}}\sum_{k=0}^n{}\binom{n}{k} \frac{(-1)^k}{(k+1)^{s-1}}$

Saludos.

- - - Actualizado - - -

Anda, mira, he encontrado información sobre lo que te comenté de los polinomios de Chebyschev aunque para la función eta de Dirichlet, échale un ojo que seguro que te sirve.


Salu2.

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Gracias.
Muy interesante el link. Además, en Referencias hay un .PDF que habla de ´Evaluación numérica de la función Zeta´...
Voy a estudiar todo esto y empezar a desarrollar un programa que la dibuje en 2D o en 3D. (Depende de como se vea mas clara la superficie).
Un saludo.

[Samir M.]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

De nada. Ya nos contarás cómo ha ido! A mí al menos me intriga cómo saldrá.

Saludos.

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Bien. Ahi va el dibujo.
Al final, me he decidido por la aproximacion de Euler-MacLaurin.
Es de facil programacion aunque las operaciones con complejos es
siempre complicada. Es rapida porque converge rapidamente para
´n´ pequeños. Y es precisa porque dá mas de 7 digitos de precision
para ´s´ pequeños. (Que es lo que me interesaba).
Aqui he usado n=20 y -5 < Real(s) <+10 y 0 < Imag(s) < +25.
(La imagen completa es simetrica con respecto al plano Real(s)-Mod(Zeta(s)))
Y coincide con los valores de test:
Mod(Zeta(1,0))=infinito.
Mod(Zeta(-2,0))=0
Mod(Zeta(-4,0))=0
Mod(Zeta(10,0)) aprox.=1
Mod(Zeta(0.5,14.134725))=0
Mod(Zeta(0.5,21.022040))=0

$\dst{\zeta(s)= A(s)(B(s,n)+C(s,n))+ \epsilon}$

$\dst{A(s)=(1-2^{1-s})^{-1}}$

$\dst{B(s,n)=\sum_{k=1}^n{}k^{-s}(-1)^{k-1}}$

$\dst{C(s,n)=(\sum_{k=n+1}^{2n}{}k^{-s}(-1)^{k-1}e_{k-n})2^{-n}}$

$\dst{e_k=\sum_{j=k}^n{}\displaystyle\binom{n}{j}}$

Y he tomado el error $\dst{\epsilon=0}$

He optado por hacer secciones de la superficie resultante. (Y no muchas).
Porque la superficie se hace muy compleja para valores de Real(s)
menores que +2 y añadir muchas secciones oscurece mucho la interpretacion
de la superficie. Lo ideal hubiese sido buscar un punto de vista adecuado,
facetear la superficie y hacer un ´hidden line´...pero esto es mucho mas
complicado y lo voy a dejar para otro momento que tenga ganas de
hacerlo. (Y tambien usar una ´plot pen´ mas fina...)

Un saludo.

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Y para acabar, una imagen de la superficie Zeta parcialmente sombreada...
Gracias. Un saludo y Feliz 2015 a todos.

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Voy a calcular el error cometido:

$\dst{Para{\:\:\:}s=\sigma+ti{\:\:\:}con{\:\:\:}\sigma>0}$

$\dst{\left |{\varepsilon}(s,n)\right|\leq8^{-n}(1+\left |{t/ \sigma}\right|)e^{\frac{1}{2}\left |{t}\right|\Pi}(\left |{1-2^{1-s}}\right |)^{-1}}$

Como el error es variable para cada punto de la superficie voy a calcularlo
para:

s = (0.5 + 1i); n = 20; Error = 1.36 x 10^-17
s = (0.5 + 25i); n = 20; Error = 2.88
s = (0.5 + 25i); n = 25; Error = 8.96 x 10^-5
s = (10 + 1i); n = 20; Error = 4.56 x 10^-18
s = (10 + 25i); n = 20; Error = 3.44 x 10^-1
s = (10 + 25i); n = 25; Error = 1.04 x 10^-5
s = (0.5 + 14.134725i); n = 20; Error = 4.64 x 10^-8
s = (0.5 + 21.022040i); n = 20; Error = 3.99 x 10^-3
s = (0.5 + 21.022040i); n = 25; Error = 1.21 x 10^-7

Un saludo.

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Compruebo con la ecuacion funcional.



$\dst{\zeta(s) \Gamma(\frac{s}{2})\pi^{-\frac{s}{2}}= \zeta(1-s) \Gamma(\frac{1-s}{2})\pi^{-\frac{1-s}{2}}}$



Lo he hecho para 4 valores de s:

(0.2+16i)
$\dst{\zeta(s) \Gamma(\frac{s}{2})\pi^{-\frac{s}{2}}= 6.091409\cdot{}10^{-6}-5.851533\cdot{}10^{-7}i}$
$\dst{\zeta(1-s) \Gamma(\frac{1-s}{2})\pi^{-\frac{1-s}{2}}= 6.091609\cdot{}10^{-6}-5.826902\cdot{}10^{-7}i}$

(0.5+0.5i)
$\dst{\zeta(s) \Gamma(\frac{s}{2})\pi^{-\frac{s}{2}}= -1.977027+1.240971\cdot{}10^{-5}i}$
$\dst{\zeta(1-s) \Gamma(\frac{1-s}{2})\pi^{-\frac{1-s}{2}}= -1.977027-1.240971\cdot{}10^{-5}i}$

(0.4+0.2i)
$\dst{\zeta(s) \Gamma(\frac{s}{2})\pi^{-\frac{s}{2}}= -3.4771362+0.49993157i}$
$\dst{\zeta(1-s) \Gamma(\frac{1-s}{2})\pi^{-\frac{1-s}{2}}= -3.47697283+0.49998959i}$

(0.5+0.2i)
$\dst{\zeta(s) \Gamma(\frac{s}{2})\pi^{-\frac{s}{2}}= -3.42524986+1.070914\cdot{}10^{-6}i}$
$\dst{\zeta(1-s) \Gamma(\frac{1-s}{2})\pi^{-\frac{1-s}{2}}= -3.42524986-1.070914\cdot{}10^{-6}i}$

Y 2 preguntas:
¿Parece un resultado aceptable teniendo en cuenta que la ecuacion de Euler-
MacLaurin es aproximada...que la evaluacion de la funcion Gamma es
aproximada...que ´pi´ es un numero irracional y que yo solo puedo usar
15 digitos de precision?
¿Es posible que para todo s=(0.5+ti) el resultado de la ecuacion funcional
sea (N+0i)?
Un saludo.

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Estoy seguro que para todo s=(0.5+ti) el resultado de la ecuacion
funcional es (N+0i). Porque?
He hecho un ´scan´ de la seccion (0.5+ti) desde 0.0 < t < 25.0 de la
superficie funcional con los parametros compatibles con un tiempo
de maquina razonable...(n=30 para la ecuacion de Euler-MacLaurin
y 100000 productos para evaluar la funcion Gamma) y he visto que:
1.- El peor de los resultados que he obtenido es con s=(0.5,0.5i).
2.- Desde s=(0.5,0.0i) hasta s=(0.5,0.5i) la diferencia con el resultado
de la ecuacion funcional teorica (N+0i) crece continuamente en la parte
imaginaria desde aprox. 10^-18 hasta aprox. 10^-6.
3.- Desde s=(0.5,0.5i) hasta s=(0.5,25.0i) la diferencia con el resultado
de la ecuacion funcional teorica (N+0i) decrece continuamente en la parte
imaginaria desde aprox. 10^-6 hasta aprox. 10^-15.
4.- Por ejemplo:
Zeta(0.5,0.5i) = -0.4593028903460183 – 0.9612542845058785 i
Gamma(0.25,0.25) = 1.651132130027396 – 1.837876906856364 i
Pi^(-0.25,-0.25) = 0.7205761577727813 – 0.2120367524679909 i
Gamma*Pi = 0.8000689954645899 – 1.674430974748448 i
Ec. Func. = -1.977027950679422 + 1.236596212027122 x 10^-6 i
Es practicamente imposible que con estos valores de Zeta, Gamma y
Pi, la ecuacion funcional dé casi CERO en su parte imaginaria por azar
porque el error que yo habria cometido deberia ser muy importante.
5.- Y esto no sucede con solo Zeta(0.5,0.5i) sino con todos los valores
de s=(0.5,ti) calculados.
6.- La ecuacion funcional reproduce los ´ceros´ de la funcion Zeta
con una precision de como minimo aprox. 10^-8 en la parte real y
de aprox.10^-11 en la parte imaginaria y esto me indica que el calculo
es relativamente preciso...
7.- Me dá la impresion que el producto de la funcion Gamma por Pi
elimina la componente imaginaria de la funcion Zeta para la
seccion (0.5+ti)...(Algo que NO sucede para otras secciones como la
(0.4+ti))
8.- Y me dá la impresion que todas estas funciones estan ´forzadas´ a dar
los ´ceros´ en la seccion critica (0.5,ti) por cuestiones de simetria
con el punto (0.5,0.0i) y con el plano (Real(s)-(Real(Zeta),Imag.(Zeta),
Mod.(Zeta),Real(Gamma),Imag(Gamma),Mod.(Gamma),etc))
Un saludo.

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Disculpad que me autoconteste pero como no obtengo respuestas y a
medida que voy viendo cosas, voy teniendo mas dudas...al menos intento
que los pasos que dé sean matematicamente correctos.

He visto que:

$\dst{\zeta(s) \Gamma(\frac{s}{2})\pi^{-\frac{s}{2}}=\frac{1}{2}\int_0^\infty( \vartheta(0;ti)-1)t^{{(s/2)}-1} dt}$

O sea:

$\dst{\zeta(s) \Gamma(\frac{s}{2})\pi^{-\frac{s}{2}}=\frac{1}{2}\sum_{t=0}^\infty( \vartheta(0;ti)-1)t^{{(s/2)}-1}\Delta t}$

Y:

$\dst{\vartheta(z; \tau)=1+2\sum_{n=1}^\infty(e^{\Pi i \tau})^{n^2}cos(2 \Pi n z)}$

Y entiendo que:

$\dst{z=(0+0i)\:\:\:y\:\:\: \tau=(0+ti)}$

Luego, al final me va a dar:

$\dst{\zeta(s) \Gamma(\frac{s}{2})\pi^{-\frac{s}{2}}=\frac{1}{2}\sum_{t=0}^\infty((1+2\sum_{n=1}^\infty(e^{ -\Pi t})^{n^2}) -1)t^{{((s/2)}-1)}\Delta t}$

Si esto fuese correcto podria intentar evaluar la ecuacion funcional a partir
de la funcion Theta. Si??? No???
Un saludo.

[Visitante]

Re: Dibujar la funcion Zeta de Riemann

Anulo mi mensaje anterior. Porque:
1.- La ultima ecuacion pasada a calculo numerico NO funciona.
(Los resultados obtenidos no se parecen ni por casualidad).
2.- Me he equivocado pasando la integral a sumatorio porque:

$\dst{F(z)=U(z)+iV(z)}$

$\dst{\int_a^b F(z)dz=\int_a^b U(z)dz+i\int_a^b V(z)dz}$

Aunque la ecuacion funcional, creo, solo tiene parte real.
3.- No sé de donde se ha sacado (ó yo no lo he entendido) el que ha escrito
en la Wikipedia la primera ecuacion y la tercera...porque en un .PDF
de Catalina Calderon, del Dpto. de Matematicas de la U. del Pais Vasco
de 2002, (La funcion Zeta de Riemann), escribe:

$\dst{\zeta(s) \Gamma(\frac{s}{2})\pi^{-\frac{s}{2}}=\frac{1}{s(s-1)}+\int_{x=1}^\infty (x^{-\frac{1}{2}(s+1)}+ x^{\frac{s}{2}-1}) \theta (x)dx}$

$\dst{ \theta(x)=\sum_{n=1}^\infty e^{-n^2 \pi x}}$

Y estas ultimas me dan mas confianza que las anteriores que ahora, ya no
me dan ninguna confianza. En parte porque ya el primer termino de la ecuacion
1/(s(s-1)) dá un ´cero´ para la parte imaginaria en la seccion (0.5+ti) de la
superficie funcional.
No entiendo como se puede llegar a diferencias tan importantes en
ecuaciones...A menos que se esté hablando de funciones Theta diferentes...
a menos que yo no lo entienda o a menos que no haya ningun rigor
en lo que se escribe en la Wikipedia...
Un saludo.