1r ciclo ¿Las equivalencias entre infinitésimos son válidas entre infinitos?

[Etmoides]

Veamos si me explico. Por infinitésimo se entiende aquella función cuyo límite es cero cuando la variable independiente x tiende a un valor c. Y algunos de estos tienen la propiedad de ser equivalentes, por ejemplo, ln (1+sen f(x) ) equivale a f(x) cuando f(x)=>0 . ¿Es esto también cierto cuando x=>infinito y los límites de las funciones también es infinito? Es que he encontrado algún ejercicio resuelto en el que usan estas equivalencias de este último modo, pero la definición no dice nada sobre ello...

¿Alguien podría aclararme si realmente es posible?

Muchas gracias

[Bustikiller]

Re: ¿Las equivalencias entre infinitésimos son válidas entre infinitos?

Buenas, no sé si entiendo tu pregunta. Creo que te refieres a esto:

$$\lim_{x \to \infty}f(x) = \infty$$

$$\lim_{x \to \infty}g(x) = \infty$$

¿Son estos límites equivalentes? No necesariamente. Por ejemplo:

$$\lim_{x \to \infty}x^2 = \infty$$

$$\lim_{x \to \infty}e^x = \infty$$

No obstante, el segundo límite es mucho más grande. De hecho,

$$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2 } = \infty$$

Espero haber entendido lo que querías decir. Un saludo.

[Etmoides]

Re: ¿Las equivalencias entre infinitésimos son válidas entre infinitos?

Mi pregunta iba por ahí, pero me refiero si las equivalencias entre infinitésimos son también válidas cuando x tiende a infinito, en vez de a cero.


Con el ejemplo que he puesto, ln (1+sen f(x) ) y f(x) serían infinitésimos equivalentes cuando f(x)=>0. ¿Sería válido hacer lo siguiente?

lim x=>infinito ln ((n^2+2n+2)/(n^2-2n+2))==lim x=>infinito ((n^2+2n+2)/(n^2-2n+2))

[alar]

Re: ¿Las equivalencias entre infinitésimos son válidas entre infinitos?

Mi pregunta iba por ahí, pero me refiero si las equivalencias entre infinitésimos son también válidas cuando x tiende a infinito, en vez de a cero.


Con el ejemplo que he puesto, ln (1+sen f(x) ) y f(x) serían infinitésimos equivalentes cuando f(x)=>0. ¿Sería válido hacer lo siguiente?

lim x=>infinito ln ((n^2+2n+2)/(n^2-2n+2))==lim x=>infinito ((n^2+2n+2)/(n^2-2n+2))

Si estás preguntando si los infinitesimales equivalentes cuando x->0 lo son también al infinito (x->infinito), no, el ejemplo más claro es

sin(x) ~ x cuando x->0, pero
no existe

$$\lim_{x \to \infty}sin(x)$$

y

$$\lim_{x \to \infty}x = \infty$$