1r ciclo Preguntas Cortas sobre Propiedades de Transformada de Fourier en Sistemas LTI

[alfred_oh]

Hola no entiendo las soluciones del siguiente ejercicio


Entiendo como se consigue la transformada de Fourier de y(t)
pero no entiendo que propiedades se utilizan para obtener tan "rápidamente"
las salidas cuando tienes esas entradas.

Lo que yo hago es sustituir la t de y(t) por el nuevo argumento de las nuevas entradas,
por ejemplo para el primer caso sustituyo t por 2t en y(t), es decir desarrollo y(2t) pero no
obtengo la solución del profe.

Alguien me podría ayudar o por lo menos explicar el mecanismo general por favor? Muchas gracias!

[Julián]

Re: Preguntas Cortas sobre Propiedades de Transformada de Fourier en Sistemas LTI

Pues conoces la respuesta al escalón del sistema por ende conoces al sistema. Lo que ha hecho el profesor es aplicar propiedades. Es decir, como cambia la respuesta cuando la entrada tiene una inversión temporal (-t), la expansión temporal (At), la derivación. Si te fijas bien la entrada del sistema solo cambia en esos parámetros y no cambia de un escalón a por ejemplo una rampa. Ni siquiera necesitas realizar la transformada, salvo en la última por supuesto.

[alfred_oh]

Re: Preguntas Cortas sobre Propiedades de Transformada de Fourier en Sistemas LTI

Gracias por responder, tu explicación me ha ayudado a entender lo siguiente:
Lo que hacemos al definir esas nuevas x(t) partiendo de nuestra x(t) es lo mismo que le tendremos que hacer a y(t) para definir las salidas y(t) de las nuevas x(t). Así por lo tanto si en la primera hacemos la modificación de multiplicar el argumento por 2 esto no modifica nuestra Heaviside. Sin embargo para la última necesitamos derivar u(t) para obtener delta(t). Así que derivamos y(t). Es así no?
Lo que pasa es que no se me ocurre que hay que hacerle a x(t) en b) para obtener 1/sqrt(PI) ni de que manera influye en y(t) multiplicar el argumento por -1 en x(t) como se hace en c)

[Julián]

Re: Preguntas Cortas sobre Propiedades de Transformada de Fourier en Sistemas LTI

h(t) es la respuesta al impulso, es decir, cuando x(t) es la delta de dirac (impulso) entonces h(t) es la salida, es decir y(t). La respuesta al impulso es más que necesaria porque identifica al sistema y esto es debido a que se puede expresar cualquier función con el impulso, es decir:

$\dst x(t) = {\int}_{-\infty}^{\infty} \delta (\tau) x(t- \tau) d \tau$

Es decir, x(t) es la misma pero expresada de diferente manera, en este caso expresada mediante las deltas de dirac.

Pero ya sabías que si metemos una delta de dirac ($\delta (t)$) al sistema lo que va a salir es la respuesta al impulso ($h(t)$). Entonces, como la señal de entrada x(t) estaba escrita según la delta de dirac y la delta de dirac cuando pasa por el sistema se modifica y sale, la respuesta al impulso, entonces la salida es:

$\dst y(t) = {\int}_{-\infty}^{\infty} h (\tau) x(t- \tau) d \tau$

Es bastante complicado realizar estas integrales. Pero x(t) no solo se puede expresar por $\delta (t)$ sino que se puede expresar de otra manera, en vez de $\delta (t)$, con $X(j \omega) {e}^{j \omega t}$


$\dst x(t) = \frac{1}{2 \pi } {\int}_{-\infty}^{\infty} X(j \omega) {e}^{j \omega t} d \omega$

En donde $X(j \omega) = {\int}_{-\infty}^{\infty} x(t) {e}^{j \omega t} d t$

Si $x(t) = \delta (t)$

$H(j \omega) = {\int}_{-\infty}^{\infty} h(t) {e}^{j \omega t} d t$

Entonces por propiedades que tendrás que estudiar $Y(j \omega) = H(j \omega) X(j \omega)$

Como vez se pasó de una integral a un producto, y eso es una regla entre otras. Además es por esto que es tan beneficiosa la transformada de fourrier ya que no hay que conbolucionar.

Hay reglas de las derivadas, en estas transformación, reglas para la inversión temporal, para la amplificación temporal, etc.

[alfred_oh]

Re: Preguntas Cortas sobre Propiedades de Transformada de Fourier en Sistemas LTI

Gracias por la explicación, ahora lo entiendo