Secundaria Volumen - Integrales

[The Higgs Particle]

Sé que el volumen del cuerpo geométrico formado por la función $f (x)$al girar sobre el eje X entre las rectas $x=a$ y $x = b$ se calcula de la forma : $V = \pi \cdot {\int}^{b}_{a} {[f(x)]}^{2} dx$.

El ejercicio me dice que tengo que calcular el volumen generado por el espacio que queda entre ${f}_{1} (x) = 1 - {x}^{2}$ y ${f}_{2} (x) = {x}^{2} - 1$. El dibujo del volumen que forma cada una es:

Por lo tanto, el volumen total es:

Viendo eso, el volumen total formado en este caso no debería restarse, sino sumarse. ${V}_{T} = {V}_{1} + {V}_{2}$. Por ello, y teniendo el cuenta que por simetría ${V}_{1} = {V}_{2}$:

${V}_{T } = 2\pi \cdot {\int}^{1}_{-1} {[{f}_{1} (x)]}^{2} dx = {\int}^{1}_{-1} {(1 - {x}^{2})}^{2}$. Sin embargo, en el libro pone que no debo multiplicarlo por dos. ¿Por qué?

[Mossy]

Re: Volumen - Integrales

Si te fijas, el sólido que generas revolucionando una de las funciones (da igual cual) es igual al sólido que generarías revolucionando la superficie que queda entre las dos funciones, por la simetría que tienen con respecto al eje OX. Entonces el volumen del sólido que buscas es igual al volumen de revolución de una sola función, no hay que multiplicarlo por dos.

[The Higgs Particle]

Re: Volumen - Integrales

Y en este caso, ${f}_{1} = 1 - {x}^{2}$ y ${f}_{2} = {x}^{2} - 2$ entonces ¿sería $\pi$ por la integral de ${[{f}_{2} (x)]}^{2} - {[{f}_{1} (x)]}^{2}$?:

Es decir, siempre la grande menos la pequeña, ¿no?

[alexpglez]

Re: Volumen - Integrales

Al hallar el volumen del sólido de revolución generado por cada función, se ve gráficamente que (y matemáticamente) los dos sólidos son iguales, por tanto la suma de los dos sería como si tuvieses dos figuras iguales, (superpuestas en el dibujo), por lo que no se debería multiplicar por dos.

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Es decir, siempre la grande menos la pequeña, ¿no?

Así es, puesto que el volumen del espacio entre medias es igual al volumen mayor menos el volumen menor.