Secundaria Área integrales

[The Higgs Particle]

¿Es correcto?

Calcula el área encerrada entre las gráficas de las funciones:

$f(x) = 1$ y $g(x) = {x}^{3} + -3{x}^{2} + 2x +1$

Como se ve en la imagen, podemos concluir que

$A = 2 \cdot {\int}^{1}_{0} ([g(x) - f(x)] \cdot dx) =$ $2 \cdot {\int}^{1}_{0} ([{x}^3 -3{x}^{2} + 2x] \cdot dx) = 2 \cdot {[\frac{{x}^4}{4} - {x}^{3} + {x}^{2}]}^{1}_{0} = 2 \cdot \frac{1}{ 4} \to \boxed{A = \frac{1}{ 2} ({u}^{2})}$

[angel relativamente]

Re: Área integrales

Hola THP.
Está bien, solo me rechinan un par de cosas.
1- Los límites de integración están al contrario, ¿no? La integral la haces desde 0 a 1, y de hecho antes de aplicar Barrow le das la vuelta por motivos que desconozco. Aunque eso solo te cambiaría el signo y como el área siempre da positiva le puedes poner unos valores absolutos para que de igual, pero en principio no tiene sentido invertir el orden.

2- El hecho de hacer "media integral" y luego multiplicarlo por 2 es muy útil pero no siempre funciona y para aplicarlo necesitas tener algo más de seguridad de la que te da un dibujo. En particular lo que aplicas es que la función g (si quieres la función $h=g-f$ que para el caso es lo mismo) es simétrica o antisimétrica con respecto a la recta $x=1$. Esto es fácil de probar y deberías de hacerlo cada vez que quieras hacer este atajo y la función no sea una conocida cuya simetría ya sabías de antemano. Por ejemplo, en este caso $h(x)=x(x-1)(x-2)$. Para ver que es antisimétrica con respecto al 1 basta ver que $h(1+\epsilon)=-h(1-\epsilon), \forall \epsilon$ (básicamente digo que los puntos que están a la izquierda del 1 tienen la misma imagen por h que los puntos que están a la misma distancia a la derecha, pero invertida). Sustituyendo en la expresión te quedará algo como $h(1+\epsilon )=\epsilon (\epsilon +1)(\epsilon -1)=-h(1-\epsilon)$, por lo que quedaría demostrado. No sé si tu profesor de bachillerato te va a pedir esto pero sin duda así habría que hacerlo para que esté bien.

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Área integrales

Los límites de integración están al contrario, ¿no?

Tienes toda la razón, va de 0 a 1 y lo he puesto al revés. Ahora mismo lo cambio.

No sé si tu profesor de bachillerato te va a pedir esto pero sin duda así habría que hacerlo para que esté bien

Voy a soltar una pequeña (pero cierta) maldad: dudo que mi profesor sepa que eso se hace así.

[pipe]

Re: Área integrales

yo creo que esta bien, lo único que comprobaría adicionalmente seria los puntos de inflexión de la función G(x) para comprobar que sea simétrica con respecto al punto (1;1) yo creo que es mas fácil comprobar la simetría por este lado, sin embargo si no se puede lo otro que puedes hacer es anteponer un (-) a la integral para hacerla positiva, o encerrar toda la integral con valor absoluto sin embargo este ultimo método me causo algunos problemas.

[Breogan]

Re: Área integrales

Hola:

Intentando completar, o dar otra alternativa a lo que dijo angel:

.....
2- El hecho de hacer "media integral" y luego multiplicarlo por 2 es muy útil pero no siempre funciona y para aplicarlo necesitas tener algo más de seguridad de la que te da un dibujo. En particular lo que aplicas es que la función g (si quieres la función $h=g-f$ que para el caso es lo mismo) es simétrica o antisimétrica con respecto a la recta $x=1$. Esto es fácil de probar y deberías de hacerlo cada vez que quieras hacer este atajo y la función no sea una conocida cuya simetría ya sabías de antemano. Por ejemplo, en este caso $h(x)=x(x-1)(x-2)$. Para ver que es antisimétrica con respecto al 1 basta ver que $h(1+\epsilon)=-h(1-\epsilon), \forall \epsilon$ (básicamente digo que los puntos que están a la izquierda del 1 tienen la misma imagen por h que los puntos que están a la misma distancia a la derecha, pero invertida). Sustituyendo en la expresión te quedará algo como $h(1+\epsilon )=\epsilon (\epsilon +1)(\epsilon -1)=-h(1-\epsilon)$, por lo que quedaría demostrado. No sé si tu profesor de bachillerato te va a pedir esto pero sin duda así habría que hacerlo para que esté bien...

Otra forma de hacerlo es que dada las funciones $g(x) \ y \ f(x)$ de las cuales te piden el área encerrada entre ellas, definimos una nueva función $h(x) = g(x) - f(x)$ (tambien podriamos hacer $h'(x) = f(x) - g(x)$) de la cual analizamos algunos puntos singulares (ceros y discontinuidades) que podemos llamar como $x_i$; existe un teorema que indica que entre dos puntos $x_i$ consecutivos así definidos $h(x)$ no cambia de signo, por lo cual el area pedida se puede escribir como:

$\dst A = \sum_{\forall i} \left| \int_{x_i}^{x_{i+1}} h(x) \ dx \right| = \sum_{\forall i} \left| \int_{x_i}^{x_{i+1}} h'(x) \ dx \right|$

Creo!!!

s.e.u.o.

Suerte