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[macabn]

Hola, necesito ayuda con este problema. Es del libro calculus de Apostol.

• Hallar el volumen mínimo limitado por los planos x=0, y=0, z=0 y un plano que sea tangente al elipsoide:

En un punto del octante x > 0 ; y >0 ; z >0

\frac{{x}^{ 2}}{ {a}^{2 }} + \frac{{y}^{ 2}}{ {b}^{ 2}}+ \frac{{z}^{ 2}}{{c}^{ 2} }



Al realizar lagrange me queda v=abc / 3\sqrt{ 3} 3 y en Apostol dice que la respuesta es \frac{abc\sqrt{3}}{2 }

[frunciopilato]

Re: Lagrange

Hola, necesito ayuda con este problema. Es del libro calculus de Apostol.

• Hallar el volumen mínimo limitado por los planos x=0, y=0, z=0 y un plano que sea tangente al elipsoide:

En un punto del octante x > 0 ; y >0 ; z >0

$\frac{{x}^{ 2}}{ {a}^{2 }} + \frac{{y}^{ 2}}{ {b}^{ 2}}+ \frac{{z}^{ 2}}{{c}^{ 2} }=1$



Al realizar lagrange me queda $v=\frac{abc}{ 3\sqrt{ 3}}$ y en Apostol dice que la respuesta es $\frac{abc\sqrt{3}}{2 }$

A ver... así a primera vista calcularía la ecuación del plano tangente al elipsoide, cuando lo tengas, si llamamos $A(x_0,y_0,z_0)$ a un punto genérico de la superficie, entonces, el plano tangente es:

$\xi \equiv \frac{\partial E(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial E(x_0,y_0,z_0)}{\partial y}(y-y_0)+\frac{\partial E(x_0,y_0,z_0)}{\partial z}(z-z_0)=0$, en este caso la superficie es $E(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1$

una vez que lo tengas tendrías que aplicar Lagrange a la función volumen, como el plano tangente a la frontera del elipsoide forma con los planos que definen al octante una pirámide con $V=\frac{A_{base}\cdot h}{3}$, entonces la función con la que debes trabajar es $V(x,y,z)=\frac{xyz}{6}$ y debes hallar sus extremos en:

$k=\{(x,y,z)\epsilon \mathbb{R}^3 / x,y,z>0, \frac{\partial E(A)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial E(A)}{\partial y}(y-y_0)+\frac{\partial E(A)}{\partial z}(z-z_0)=0\}$

---

También si consideramos un punto genérico de la superficie del elipsoide $A(x_0,y_0,z_0)$ y calculamos el plano tangente a la superficie

$\xi \equiv \frac{\partial E(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial E(x_0,y_0,z_0)}{\partial y}(y-y_0)+\frac{\partial E(x_0,y_0,z_0)}{\partial z}(z-z_0)=0$

$\xi \equiv \frac{2x_0}{a^2}(x-x_0)+\frac{2y_0}{b^2}(y-y_0)+\frac{2z_0}{c^2}(z-z_0)=0$

$\xi \equiv \frac{x_0}{a^2}(x-x_0)+\frac{y_0}{b^2}(y-y_0)+\frac{z_0}{c^2}(z-z_0)=0$

$\xi \equiv \frac{x}{a^2}x_0+\frac{y}{b^2}y_0+\frac{z}{c^2}z_0-\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}-\frac{z_0^2}{c^2}=0$

$\xi \equiv \frac{x}{a^2}x_0+\frac{y}{b^2}y_0+\frac{z}{c^2}z_0-1=0$

$\xi \equiv \frac{x}{a^2}x_0+\frac{y}{b^2}y_0+\frac{z}{c^2}z_0=1$

Tal plano siempre cortará al las rectas que definen los ejes de coordenadas, los puntos de corte los podemos obtener fácilmente:

• Si $x=0,\ y=0$ entonces $\frac{0}{a^2}x_0+\frac{0}{b^2}y_0+\frac{z}{c^2}z_0=1$ --> $z=\frac{c^2}{z_0}$
• Si $y=0,\ z=0$ entonces $\frac{x}{a^2}x_0+\frac{0}{b^2}y_0+\frac{0}{c^2}z_0=1$ --> $x=\frac{a^2}{x_0}$
• Si $x=0,\ z=0$ entonces $\frac{0}{a^2}x_0+\frac{y}{b^2}y_0+\frac{0}{c^2}z_0=1$ --> $y=\frac{b^2}{y_0}$

de tal manera obtenemos que el plano tangente al elipsoide corta a los ejes en $X(\frac{a^2}{x_0},0,0),\ Y(0,\frac{b^2}{y_0},0),\ Z(0,0,\frac{a^2}{z_0})$

Además, como dije en el primer procedimiento, más bestia que este, el volumen de la figura formada se calcula como $V=\frac{xyz}{6}$, en este caso $V=\frac{(abc)^2}{6x_0y_0z_0}$, luego aplicando Lagrange a $V(x,y,z)=\frac{(abc)^2}{6xyz}$ en $w=\{(x,y,z)\epsilon \mathbb{R}^3 / x,y,z>0, \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0 \}$ obtienes que el mínimo absoluto era $m(\frac{a}{ \sqrt{3}}, \frac{b}{\sqrt{3}},\frac{c}{\sqrt{3}})$ luego el volumen será $V=\frac{(abc)^2}{6 \frac{abc}{3\sqrt{3}}}=\frac{(abc)^2 3 \sqrt{3}}{6abc}=\frac{abc \sqrt{3} }{2}$