1r ciclo Cómo resolver ésta ecuación

[Etmoides]

Hola, se trata de un ejercicio que pide a) hallar los máximos y mínimos relativos de f(x)=e^(1/x)+x^5-2 y b) averiguar el número de soluciones de f(x)=0. El problema es que no sé de qué modo puede hallarse el resultado de f '(x)=0 y de f(x)=0 (no lo consigo "a la vieja usanza", despejando y resolviendo)... ¿Alguna sugerencia?

Muchas gracias

[angel relativamente]

Re: Cómo resolver ésta ecuación

Para ver los máximos y mínimos relativos no se me ocurre cómo hacerlo. En el wolfram sale que tiene ceros no triviales y obviamente la ecuación es trascendente. Para averiguar el número de soluciones $f(x)=0$ es sencillo ver que no tiene ninguna. Analizamos para los distintos valores de x.

-Para $x<0$ se tiene que $e^{1/x}<1, \; x^5 <0$ por lo que $f(x)<0$ no corta al eje x.
-Para $x=0$ la función no está definida.
-Para $0<x\leq 1$ se tiene que $e^{1/x}\geq e>2$ y $x^5 >0$ por lo que $f(x)>0$ y no corta al eje x.
-Para $1<x\leq 2$ se tiene que $e^{1/x} \geq \sqrt{e} > 1$ y $x^5 >1$ por lo que $f(x)>0$ que no corta al eje x.
-Para $x>2$ se tiene que $e^{1/x} > 0$ y $x^5 > 2$ por lo que de nuevo $f(x)>0$ y no corta al eje x.

En conclusión no tiene ningún cero.

Saludos

PD: Se puede entrever que uno de los mínimos está cerca del 1 donde la función exponencial empieza a decrecer y la potencial empieza a crecer, pero solo puedo llegar por estimación. ¿Te piden que des los máximos y mínimos o solo que digas "el número"? si es esto último se puede deducir por argumentos similares con los signos de la derivada.

Saludos

[Etmoides]

Re: Cómo resolver ésta ecuación

Gracias, la primera parte me queda ahora clara. Lo de los máximos y mínimos no lo especifica, pero supongo que consistirá en estimarlos como has hecho tú (es un problema que cayó en un examen, calcularlos puede que requiera más tiempo de la cuenta)...

Salu2