1r ciclo Punto doble de una curva paramétrica

[xen]

Hola, he intentado hallar el punto doble de la curva parámetrica definida por:
$x(t) = 3t - t^3$, $y(t) = 3t^2$

Es decir, debo buscar los valores de ${t}_{ 1}$ y ${t}_{2}$ para los que $x({t}_{1}) = x({t}_{2})$ y $y({t}_{1}) = y({t}_{2})$.

Los valores buscados son: ${t}_{1} = -\sqrt{3}$ y ${t}_{2}=\sqrt{3}$. La dificultad es que he planteado un sistema de ecuaciones y no logro resolverlo, haciendo cambios de variable como $s = {t}_{1} + {t}_{2}$ y $p = {t}_{1}{t}_{2}$.

Gracias por las recomendaciones y sugerencias.

[Richard R Richard]

Re: Punto doble de una curva paramétrica

Hola
yo lo he resuelto sin ningun cambio de variable

Si $y(t_1)=3t_1^2=3t_2^2=y(t_2)\Rightarrow t_1=\pm t_2$

reeplazando en

$x(t_1)=3t_1-t_1^3=3t_2-t_2^3=x(t_2)=-3t_1+t_1^3$

luego de la igualdad

$3t_1-t_1^3=-3t_1+t_1^3$

despejo

$6 t_1=2t_1^3$

entonces

$3 =t_1^2$

de aqui

$t_1 =\pm \sqrt{3}$
$t_2 =\mp \sqrt{3}$


Saludos

[xen]

Re: Punto doble de una curva paramétrica

Gracias Richard. No lo estaba considerando de la forma más sencilla y me estaba complicando un poco.