1r ciclo derivadas y sus aplicaciones

[lizzyliz]

Hola, tengo una problema que dice [FONT=Arial]La Curva de Costo Total de Un Artículo es y = 2x – 2{x}^{2}+ {x}^{3}, Dónde “y” Representa el Costo Total y “x” Representa la Cantidad. Suponiendo Que las Condiciones del Mercado Indican Que Deberían Producirse Entre 3 y 10 Unidades. ¿Para Qué Cantidad, Dentro de Ése Intervalo, El Costo Promedio es Mínimo?. Elaborar Gráfico. Quisiera que me expliquen. Gracias.[/FONT][FONT=Times New Roman][/FONT]

[Richard R Richard]

Re: derivadas y sus aplicaciones

Hola $y$ "el costo" es una función de la cantidad $x$, cuando representas gráficamente esta función veras que hay un punto donde $y$ no desciende mientras sigas aumentando $x$ osea venia bajando $y$ ahora vuelve a subir, eso quiere decir que ha llegado a un mínimo, la propiedad matemática de los máximos y los mínimos de una función es que su derivada parcial en dichos puntos es nula osea 0. (En el caso de este problema si el enunciado esta correcto no sucede)

Así $\dfrac {\dd y}{\dd x}=0 = \dfrac {\dd (2x - 2{x}^{2}+ {x}^{3})}{\dd x}=2-4x+3x^2$

Para saber cuales son los valores de x donde se hace mínimo o máximo primero haces la derivada, luego la igualas a 0 y resuelves la ecuación para hallar el valor de x . en este caso te queda una cuadrática y obtendrás dos valores de $x$ un máximo llamemosle $(x_1)$ y un mínimo $(x_2)$. pero por ahora no sabes cual es el máximo y cual el mínimo. Me llama la atención que la funcion no tenga raices reales (revisa si has copiado bien la función) si no tiene raices reales el costo minimo estara en 3 o en 10 (he visto que es en 3) y deberás evaluar la función $y$ en ambos puntos para saber cual es el menor de los dos. pero igual te comento como sigue si tuviera raices reales.


Bien como se distingue esos valores de $x$ son un máximo o un mínimo? mediante la derivada segunda.

Calculas la derivada segunda , y reemplazas el valor de $x$ donde la derivada primera es nula osea en $(x_1)$ y en $(x_2)$ .

Si el valor que obtienes es menor que cero tienes un máximo y debe cumplirse que
$\dfrac {\dd^2 y}{\dd x^2}(x_1)<0$

si el valor que obtienes es mayor que cero tienes un mínimo.
$\dfrac {\dd^2 y}{\dd x^2}(x_2)>0$

Debes chequear que el mínimo que resulte de estos cálculos se halle entre 3 y 10 que es lo que el mercado necesita.

[lizzyliz]

Re: derivadas y sus aplicaciones

Gracias, pero aun no comprendo y todavía no he logrado resolver el problema...

[Richard R Richard]

Re: derivadas y sus aplicaciones

dime que es lo que has intentado, y donde te trabas e iremos por partes, saludos