1r ciclo Problema de aplicación. Inecuaciones.

[socra1]

Ceferino Parada, el propietario de una tienda especializada en café, pesa el gramo a sus clientes utilizando una balanza de dos brazos . Hace tiempo se le cayo la balanza en el piso de concreto y ahora el brazo izquierdo es ligeramente mas largo que el derecho, esto es a > b . Esto no presenta problema para Ceferino. Cuando un cliente pide dos kilogramos de café, pone un peso de 1 kilogramo en el plato de la izquierda y pone café en el plato de la derecha hasta que la balanza quede equilibrada depositando esta cantidad de café en una bolsa. A continuación pone el peso de 1 kilogramo en el plato de la derecha y café en el de la izquierda hasta que quede equilibrado; este café lo agrega al que había en la bolsa. Esta cantidad es exactamente 2 kilogramo, afirma Ceferino, afirmación que habrá que analizar. Supongase que los brazos de la balanza carecen de peso, pero los platos pesan 100 gramos cada uno.

a) Muéstrese que Ceferino se ha estado engañando a si mismo todo estos años.

b) Si Ceferino le da en realidad al cliente 2.01 kilogramo determínese a/b. Si se desea complicar el problema, muéstrese que la conclusión que se obtiene en a)
sigue siendo valida aun suponiendo que los brazos tienen peso.

Trate de resolver el problema utilizando la formula de equilibrio de pesos, pero no encontré la respuesta, si me pudieran ayudar les agradecería.

[Richard R Richard]

Re: Problema de aplicación. Inecuaciones.

en el punto a tienes dos situaciones si coloca el peso patron de 1 kg sobre el brazo mas corto
mp=masa platillo
a =largo brazo largo
b=largo brazo corto

$$(mp+m1).g.a=(mp+1).g.b$$

guardara una masa m1

si coloca el peso sobre el brazo mas largo

$$(mp+1).g.a=(mp+m2).g.b$$

y guardara una masa m2

la masa guardada es $m= m1+m2$ y la supone igual a 2 kg

pero si decimos que

$\dfrac ab=x$ sumando y reemplazando llegas a que

$$m =\dfrac{mp(x-1)^2+(1+x^2)}x$$

si haces

$\frac{\partial m}{\partial x}=0$ para saber donde hay un minimo o un maximo en la funcion, concluyes que esa derivada se hace 0 en


$mp=-1$ este valor no sera viable en la practica ya que la consideras o bien 0,1kg o 0 si no tienes en cuenta el peso de los brazos y platillos

$x=-1$ no sera posible en la practica pues los brazos tienen distancia positiva ambos segun el sistema de referencia usado

o en $x= 1$ osea $a=b$

si sacas $\frac{\partial^2 m}{\partial x^2}_{(x=1)}= \frac12(mp+1)x^-3 >0$

entonces determinas que alli tienes un mínimo

la conclusion es que siempre Ceferino entrego mas masa que 2 kg cada vez que hacia este procedimiento, por ende si se engañaba a si mismo.



en b haces

$m =\dfrac{0.1 (x-1)^2+(1+x^2)}x=2.01$

resuelves la cuadratica y ya tienes $x=\frac ab$

la segunda parte de b es muy facil pues solo incrementaria el valor de mp ( pues el brazo se acorto no dice que haya variado de peso)
y se agregaria la misma masa de ambos lados y de ese modo la condicion de minimo en a=b, la consigues con independencia del peso del platillo y los brazos.

saludos

[socra1]

Re: Problema de aplicación. Inecuaciones.

No se de derivadas asi que no entiendo.

[Al2000]

Re: Problema de aplicación. Inecuaciones.

Si deseas demostrar mediante desigualdades el inciso a), puedes comparar con 2 el valor de $m$ que determinó Richard R Richard:

$$m = \frac {m_p (x-1)^2 + x^2 + 1} x \gtreqqless 2$$

Aceptando que $x$ es un valor positivo, entonces

$$m_p (x-1)^2 + x^2 + 1 \gtreqqless 2 x \quad \Rightarrow \quad m_p (x-1)^2 + x^2 - 2 x + 1 \gtreqqless 0$$

$$m_p (x-1)^2 + (x-1)^2 \gtreqqless 0 \quad \Rightarrow \quad (m_p+1) (x-1)^2 \gtreqqless 0$$

Pero en esta última expresión, ambos factores son positivos, por lo que se cumple que

$$(m_p+1) (x-1)^2 > 0 \quad \Rightarrow \quad \boxed {m > 2}$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Re: Problema de aplicación. Inecuaciones.

De acuerdo con Al2000 con el planteo , disculpa por haber usado un metodo que no conoces.

$(m_p+1) (x-1)^2 > 0 \quad \Rightarrow \quad \boxed {m > 2}$

con los datos del problema a>b la igualdad de la eecuacion no se cumple

pues solo ocurre cuando $a=b$ o $x=1$

del mismo modo solo me queda agregar que en la ultima parte del enunciado B

suponiendo $m_h$=masa del brazo

la formula de la inecuacion pasa a

$(m_p+m_h+1) (x-1)^2 > 0 \quad \Rightarrow \quad \boxed {m > 2}$

llegando a la misma conclusión pues $m_h >0$

Saludos