Secundaria Integral simple

[The Higgs Particle]

Hola! Hace ya meses que no toco las integrales y me gustaría saber si esta está bien resuelta, así como otro método que se os ocurra:


Calcula la siguiente integral sabiendo que $v = a \cdot sen(z)$:

$\int(\sqrt{a^2-v^2})dv$

Sutituyendo lo que me dice el enunciado y sabiendo que $dv = a \cdot cos(z) \cdot dz$:

$\int(\sqrt{a^2 - a^2 \cdot sen^2(z)}) \cdot a \cdot cos(z) \cdot dz = \int(a^2 \cdot cos^2(z)) dz$

Y, al mismo tiempo, sabiendo esta igualdad trigonométrica: $cos(2z) = cos^2(z) - sen^2(z) = cos^2(z) - (1-cos^2(z))$ $= 2cos^2(z) - 1 \to cos^2(z) = \frac{cos(2z) + 1}{2}$, tenemos:

$\int(a^2 \cdot cos^2(z)) dz = \int (a^2 \cdot (\frac{cos(2z) + 1}{2})) dz$$= \frac{a^2}{2} \cdot \int (cos(2z))dz + \frac{a^2}{2} \cdot \int dz$

Por lo tanto:

$\boxed{\int(\sqrt{a^2-v^2})dv = \frac{a^2 \cdot sen(2z)}{4} + \frac{a^2 z}{2} + C}$

[angel relativamente]

Re: Integral simple

Está bien resuelta, y si te dan ya el cambio de variable de lejos se ve que este método es el más corto. Solo decir que generalmente como solución final se suele dar deshaciendo el cambio de variable (o sea, dejándolo en función de v).

Saludos,

[The Higgs Particle]

Re: Integral simple

Gracias! A ello voy ahora:

$v = a \cdot sen(z) \to z = arcsen(\frac{v}{a})$

$\int(\sqrt{a^2-v^2})dv = \frac{a^2 \cdot sen(2z)}{4} + \frac{a^2 z}{2} + C = \frac{a^2 \cdot (2 \cdot cos(z) \cdot sen(z))}{4}$ $+ \frac{a^2 \cdot arcsen(\frac{v}{a})}{2} + C =\frac{a \cdot cos(arcsen(\frac{v}{a })) \cdot v }{2} + \frac{a^2 \cdot arcsen(\frac{v}{ a})}{2} + C$

Por lo tanto, podemos concluir:

$\boxed{\int(\sqrt{a^2-v^2})dv = \frac{a}{2} \cdot (v \cdot cos(arcsen(\frac{v}{ a})) + a \cdot arcsen(\frac{v}{ a})) + C}$

[Richard R Richard]

Re: Integral simple

solo un pequeño aporte

si $\sin z = \dfrac va$

entonces $\cos z = \dfrac{\sqrt{a^2-v^2}}{a}$

de la formula antes del recuadro

$=\frac{a \cdot cos(arcsen(\frac{v}{a })) \cdot v }{2} + \frac{a^2 \cdot arcsen(\frac{v}{ a})}{2} + C$

te has dejado a $v$

asi

$\boxed{\int(\sqrt{a^2-v^2})dv = \dfrac {v}{2}\sqrt{a^2-v^2}+ \dfrac{a^2}{2} \cdot arcsen(\frac{v}{ a}) + C}$

saludos

[The Higgs Particle]

Re: Integral simple

Ya he corregido la $v$ del recuadro

¡Es verdad! No se me había ocurrido poner así el coseno, pero sin duda la solución queda mucho más elegante. ¡Gracias!