1r ciclo Derivada total del vector potencial magnético

[jugarmen]

¿Cómo puedo llegar a este resultado usando la regla de la cadena?



Muchas gracias por la ayuda

[angel relativamente]

Re: Derivada total del vector potencial magnético

Hola, la regla de la cadena en varias variables dice que si $A=A(x,y,z,t)$ es una función de varias variables y a su vez $x,y,z,t$ son funciones de t derivables, entonces

$\dfrac{\dd A_x }{\dd t} = \displaystyle \sum_{i}\dfrac{\partial A_x}{\partial i} \dfrac{\dd i}{\dd t}$, con $i=x,y,z,t$. Solo observa que $\dfrac{\dd t }{\dd t} =1$ y que $\dfrac {\dd j}{\dd t}$ se define como $v_j$ para $j=x,y,z$.

Saludos,

[Alriga]

Re: Derivada total del vector potencial magnético

No lo veo. ¿Perdona, estás segura de que has hecho bien la pregunta? ¿No podría ser algo así como esto otro?

Si $A=A_x i+A_y j+A_z k$ calcular de derivada de A respecto del tiempo

$\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{\partial A_x}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial t}i+\dfrac{\partial A_y}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial t}j+\dfrac{\partial A_z}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial t}k$

$\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{\partial A_x}{\partial x}v_x\ i+\dfrac{\partial A_y}{\partial y}v_y\ j+\dfrac{\partial A_z}{\partial z}v_z\ k$

Saludos.

[alexpglez]

Re: Derivada total del vector potencial magnético

No lo veo. ¿Perdona, estás segura de que as hecho bien la pregunta? ¿No podría ser algo así como esto otro?

Si $A=A_x i+A_y j+Az k$ calcular de derivada de A respecto del tiempo

$\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{\partial A_x}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial t}i+\dfrac{\partial A_y}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial t}j+\dfrac{\partial A_z}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial t}k$

$\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{\partial A_x}{\partial x}v_x\ i+\dfrac{\partial A_y}{\partial y}v_y\ j+\dfrac{\partial A_z}{\partial z}v_z\ k$

Saludos.

No, es cómo dice angel, aunque depende del contexto...: tú estás considerando que una función vectorial del tipo: $A_x(x(t))$ $A_y(y(t))$$A_z(z(t))$, pero si asociamos la función vectorial A al campo electromagnético, esta función es un caso particular. La función general es: $A_x(x(t),y(t),z(t),t)$, $A_y(x(t),y(t),z(t),t)$,$A_z(x(t),y(t),z(t),t)$... en resumen, una función del tipo: $\vec A(x(t),y(t),z(t),t)$..
En resumen, como ha dicho angel, es aplicar la regla de derivación que dice:

$$d \vec A(x,y,z,t)= \frac{\partial \vec A}{\partial x}dx + \frac{\partial \vec A}{\partial y}dy +\frac{\partial \vec A}{\partial z}dz+\frac{\partial \vec A}{\partial t}dt$$

$$\frac{d \vec A}{dt}= \frac{\partial \vec A}{\partial x}v_x + \frac{\partial \vec A}{\partial y}v_y +\frac{\partial \vec A}{\partial z}v_z+\frac{\partial \vec A}{\partial t}$$

Dónde: $\frac{dt}{dt}=1$, y la velocidad $\frac{dx}{dt}$ (lo mismo para y y z).
Entonces:

$$\frac{d A_x}{dt}= \frac{\partial A_x}{\partial x}v_x + \frac{\partial A_x}{\partial y}v_y +\frac{\partial A_x}{\partial z}v_z+\frac{\partial A_x}{\partial t}$$

Y lo mismo para las componentes y y z.

Saludos.

[Alriga]

Re: Derivada total del vector potencial magnético

¿Cómo puedo llegar a este resultado usando la regla de la cadena?

OK alexpglez, creo que la respuesta a la duda de jugarmen debe ser como tú dices, (y como también dice angel relativamente)
Me ha despistado que jugarmen ha puesto, supongo que por error, $A_z$ en la última derivada parcial.
En vez de deducir que ese podía ser el error yo he creído que el error era otro, y he supuesto que en el sumando central del paréntesis debía ser realmente $A_y$
Y a partir de aquí ya no me encajaba nada.

Saludos.