Secundaria Sentido físico de la inexistencia de límite

[The Higgs Particle]

Como dice el título de este hilo, mi duda es qué significa en realidad el que no exista el límite de una función.


Por ejemplo, en este otro hilo hablábamos de que para la masa en función de la velocidad $(m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})$, no existe límite, puesto que el límite lateral por la izquierda no existe.
Es decir: $\nexists$ $lim_{v \to c^-} [m(v)] \to$ $\nexists$ $lim_{v \to c} [m(v)]$. ¿Constituye esto una demostración de que un cuerpo de masa en reposo $m_0$ nunca va a poder ser acelerado hasta la velocidad de la luz? ¿O lo que constituye la demostración de que no se puede alcanzar es que $m(c)$ es indeterminado (un número entre cero)?


Es decir, el que en $x_0$ ($x_0 \in Dom (f)$) para una función $f(x)$ no exista límite, ¿significa que nunca se va a poder alcanzar dicho valor?
En fin, dicho grosso modo: ¿qué significa físicamente que no exista un límite?

[visitante20160513]

Re: Sentido físico de la inexistencia de límite

Primero deberías entender que significa desde un punto matemático la inexistencia del límite de una función. No es lo mismo que una función diverja en un punto, es decir que sea mayor (o menor) que cualquier número real, a que la función no tenga límite porque oscile, o porque sea discontinua, etc. Hay muchas razones matemáticas por las que una función no presente límite en un punto dado. Te pongo un ejemplo, una función continua, acotada y periódica nadie diría que podría no presentar límite en algún caso, sin embargo si intentamos calcular esto:

$\lim \ _{x \to \infty}f(x)=\ ?$

nos encontramos con que dicho límite no existe. La interpretación física de estos fenómenos debe hacerse de forma puntual, caso a caso, y teniendo en cuenta todos los fenómenos que suceden en el entorno del punto en el que queremos calcular el límite, no hay una forma única de interpretar estos fenómenos y desde luego tampoco existe un procedimiento que nos permita generar esa interpretación de forma automática, aunque desde luego la interpretación física del límite en el ejemplo que pusiste es muy conocida en relatividad, la cantidad de energía que es necesario suministrar a un cuerpo másico para que alcance la velocidad de la luz es infinita y por lo tanto dicha velocidad es inalcanzable, porque es imposible aportar una cantidad infinita de energía a ningún proceso físico. En matemática el infinito sí existe porque los propios matemáticos se lo inventaron, pero en la naturaleza el infinito no existe, hasta tal punto eso es así que cuando resolvemos un problema físico con un determinado modelo matemático y obtenemos como resultado un valor infinito o no acotado, podemos descartar tranquilamente nuestro modelo porque de antemano puede afirmarse sin más comprobación que el modelo es incorrecto.

Salu2, Jabato.

[carroza]

Re: Sentido físico de la inexistencia de límite

Hola.

No todos los conceptos matemáticos tienen un sentido físico. La inexistencia de un límite, o un límite infinito, no tiene por qué tener una interpretación física.

Por ejemplo, una linea recta tiene un radio de curvatura infinito. Eso no impide que en la naturaleza pueda haber líneas rectas.

Las teorías físicas llevan aparejadas leyes dadas por expresiones matemáticas. La aparición de infinitos en las expresiones matemáticas sólo es un problema cuando la magnitud que da infinito, es una magnitud directamente observable (a diferencia, por ejemplo, de la inversa). Este sería el caso de la masa relativista, lo cual impide, como dices, que la velocidad de un objeto con masa en reposo se haga igual a c.

Por ejemplo, en teoría cuántica de campos, las cargas "desnudas" de las partículas se hacen infinito. No obstante, la magnitud observable es una carga "vestida" (con partículas y antipartículas alrededor), que es siempre finita.

Con frecuencia, la aparición de infinitos en una teoría indica que la teoría es efectiva, y el infinito ocurre cuando la teoría está fuera de su rango de aplicabilidad.

Un saludo

[visitante20160513]

Re: Sentido físico de la inexistencia de límite

Por ejemplo, una linea recta tiene un radio de curvatura infinito. Eso no impide que en la naturaleza pueda haber líneas rectas.

Estás demasiado seguro de eso, yo no lo afirmaría con tanta rotundidad, ni tan siquiera las trayectorias de los rayos de luz son rectilíneas en la naturaleza, de hecho yo más bien diría que la linea recta no existe en la naturaleza, aunque hay muchos modelos matemáticos que las aceptan sin contradicción, pero de eso a afirmar que existen hay un trecho.

[Julián]

Re: Sentido físico de la inexistencia de límite

Es decir, el que en () para una función no exista límite, ¿significa que nunca se va a poder alcanzar dicho valor?

No, el límite como:

${lim}_{x->a} f(x)= b$ es $\left\vert{} f(x) - b \right\vert{}< \varepsilon\Leftrightarrow \left\vert{} x-a \right\vert{}< \delta$

Es decir, la función f(x) tomará un valor cuyo intervalo central será f(x)=b y cuyo extremos de ese intervalo lo elegimos nosotros que es $\varepsilon$ ¿que tan pequeño es ese intervalo?, es decir, ¿que tan cerca estará f(x) del valor b? Pues tan pequeño como queremos pero dado un intervalo cuyo extremos será $b - \varepsilon \leqslant f(x) \leqslant b + \varepsilon$ eso implica que la variable independiente debe estar en el intervalo $a - \delta \leqslant x \leqslant a + \delta$

Lo anterior es una definición matemática de lo que sería límite, por ejemplo para la función $f(x) = {x}^{2}$

$\left\vert{} f(x) - 2 \right\vert{}< \varepsilon \Leftrightarrow \left\vert{} x-2 \right\vert{}< \delta$

Elegimos $\varepsilon = 0.001$ pero podría haber elegido $\varepsilon = 0.0000000000000001$

Por ende, el valor de la función estará en un intervalor $-0.001<{x}^{2}-4<0.001$

entonces: $-0.001+4<{x}^{2}<0.001+4 \Rightarrow \sqrt{3.999}<x<\sqrt{4.001}$

Por ende para que la función esté entre $(3.999,4.001)$, la variable independiente debe estar entre $(1.9997, 2.0002)$

En fin, dicho grosso modo: ¿qué significa físicamente que no exista un límite?

Si no existe el límite, no es posible realizar un intervalo alrededor de un punto de la ordenada tan pequeño como se quiera que nos de un intervalo en el dominio que satisfaga lo anterior.

Por ejemplo para $f(x) = {x}^{2} \forall x>1$

$\left\vert{} f(x) - 1 \right\vert{}<0.001$
$1-0.001<{x}^{2}<1+0.001$

$\sqrt{0.999} < x < \sqrt{1.001}$

Por lo que $0.999 < x < 1.00049$

Por ende no existe el límite porque no existe un intervalo de la variable independiente que satisfaga que la función esté tan cerca de 1 como un intervalo de 0.001. Ya que x no está definida para valores menores a 1.

Si observas se contruye un intervalo alrededor de un punto que es el valor de la función a la que evaluamos la cercanía con respecto a un valor $\varepsilon$ y el intervalo que obtenemos en el dominio tiene que ser el mismo, y no darnos 2 diferentes.

Es decir: . ¿Constituye esto una demostración de que un cuerpo de masa en reposo nunca va a poder ser acelerado hasta la velocidad de la luz?

No es una demostración sino que es una expresión de lo observado en la naturaleza utilizando la herramienta de límite. Es decir, que si hacemos una función cuya variable dependiente es la velocidad en función de la masa está función convergerá a c.

$-0.1<v(m) - c < 0.1 \Leftrightarrow$ $c-0.1 < v(m) < c+0.1$ pero no existe un valor para $v(m) > c$ Por lo que solamente podemos hacer el límite para la izquierda, por ejemplo:

$c-0.1<v(m)$ y bueno ahi tendriamos que ver cual es la función v(m) para despejar que valores de m satisfacen la inecuación anterior.

Pero eso ya no cumple la definición de límite. En fin, el límite es una herramienta matemática que permite definir la integración y derivación y utilizarse para trabajar varios fenómenos de la naturaleza pero sin duda no dejan de ser herramientas.

[Alriga]

Re: Sentido físico de la inexistencia de límite

Para calcular magnitudes medibles de fenómenos físicos se establece una relación matemática, (ecuación), entre ellos. Esa relación está basada siempre en que se cumplen unas “premisas básicas” o “condiciones de aplicación”
Ejemplo clásico, dados dos objetos de masas m1 y m2 la fuerza gravitatoria que se ejercen entre ellos cuando están a una distancia d es, según la Ley de Newton:

$F=G \dfrac{m_1 \cdot m_2}{d^2}$

¿Qué pasa si vamos disminuyendo la distancia entre los dos objetos? Que la fuerza va aumentando. Y en el límite para distancia igual a cero la fuerza es infinita. Pero eso es absurdo, puesto que no existen fuerzas infinitas.
Si al forzar un valor físico de una ecuación ésta nos da un resultado absurdo, eso nos da una alerta de que probablemente estamos forzando la ecuación más allá de las condiciones de aplicación.
En este caso, la condición de aplicación de la Ley de Newton es que la distancia entre los dos objetos sea muchísimo mayor que las dimensiones individuales de cada uno de ellos. Solo de esa forma es admisible modelizar cada objeto exclusivamente por un solo número, (su masa), y considerar que hay una distancia única entre ellos: por eso la Ley de Newton da también una única fuerza y es tan simple.
Pero si acercamos los dos objetos a distancias comparables con su tamaño, lógicamente las partes que estén más cerca se atraerán con más fuerza que las más lejanas y en direcciones ligeramente distintas, apareciendo fuerzas de marea, etc...
El llevar una magnitud de una ecuación (d en nuestro caso) hacia un valor (cero en nuestro caso) en el que la magnitud calculada (F) crece de forma incontrolada (sin límite), nos avisa de que estamos violando las condiciones de aplicación y que posiblemente debemos cambiar de modelo.
Observa que digo “un aviso”, que hay que considerar cada caso. En el ejemplo del radio de curvatura de carroza, que este se vaya haciendo infinito te avisa de que la curva cada vez está menos curvada y en el límite cambiará de curva a recta, es decir el aviso existe aunque en este ejemplo puede no ser necesario cambiar de modelo.
Saludos.

[Everett IV]

Re: Sentido físico de la inexistencia de límite

Lo que indica es que $\frac{v^2}{c^2}$, los cuadrados del módulo de velocidades, y del cociente de ambos, es menor que 1, luego la raíz da positiva, si diera negativa tendríamos una energía cinética negativa, lo cuál es imposible. No hay una razón física, al menos que quisieras considerar que vivimos en un mundo con coordenadas imaginarias, en vez de reales.

- - - Actualizado - - -
Respuesta anterior erronea, esta es la correcta

[The Higgs Particle]

Re: Sentido físico de la inexistencia de límite

Entonces lo que he entendido es que los límites son simplemente una herramienta matemática. Sólo son de importancia (en cuanto a significado físico) cuando nos salen cosas extrañas (por ejemplo, infinito, como en el caso de la masa relativista), pues nos indican que estamos llevando nuestras teorías al límite del marco permitido por la naturaleza.
¿Es así?

[visitante20160513]

Re: Sentido físico de la inexistencia de límite

Si, o simplemente que el modelo matemático es directamente incorrecto.

Salu2, Jabato.

[The Higgs Particle]

Re: Sentido físico de la inexistencia de límite

Vale. Entendido entonces. Muchas gracias a todos

[Everett IV]

Re: Sentido físico de la inexistencia de límite

Bueno, de hecho, a muy pequeña escala (unidades de Planck) la relatividad general y la cuántica no son compatibles en un espacio de 3+1 dimensiones, hace falta una teoría nueva que tenga como límite clásico la relatividad y microscópico la cuántica. Hay muchas alternativas propuestas, y actualmente difíciles de falsar por falta de recursos para fabricar aceleradores más grandes. Cada teoría predice unas partículas nuevas ( o incluso alguna sólo las que conocemos, como el Strand Model de Schiller [que no es aceptado por la comunidad científica por falta de rigor matemático en sus planteamientos y que ninguna revista lo ha publicado] tiene gran parte de la física el tal Schiller en unos libros de texto de física, donde en el último volumen, propone una teoría del todo incluso, aunque es verdad que deduce todos los valores de constantes físicas del modelo estándar y de partículas www.motionmountain,net volumen 6, a partir del capitulo 7 creo, es un PDF con indice, así que es facil de encontrar) www.motionmountain.net