1r ciclo Duda con el criterio del cociente.

[HanT]

Buenas,

tengo una duda respecto al criterio de convergencia del cociente, también llamado criterio de D'alembert. El criterio analiza la convergencia absoluta, pero, si la expresión es siempre positiva, es decir, no varían su valor absoluto y ella misma, ¿podemos decir que si su valor absoluto diverge a través de este criterio, tampoco podrá ser condicionalmente convergente (que converge pero no absolutamente)? Sé que en general esto no es cierto, y que una serie puede ser convergente pero no absolutamente convergente. La cuestión es cuando coinciden las expresiones.


Gracias.

[alar]

Re: Duda con el criterio del cociente.

Aunque no entiendo muy bien que me estás preguntado allá voy:

El criterio del cociente es para series $\sum_{n = 0}^\infty {a}_{n }$ tal que ${a}_{n}>0$ para todo n, no analiza la convergencia absoluta ya que eso se da en series que cuyos valores ${a}_{n}$ pueden ser positivos y negativos.

Ahora bien si tienes $\sum_{n = 0}^\infty {a}_{n }$ con ${a}_{n}\in R$, es decir los términos de la serie pueden ser positivos y negativos y quieres saber cuando converge puedes mirar su convergencia absoluta, esto es $\sum_{n = 0}^\infty |{a}_{n }|<\infty$ puedes usar el criterio del cociente, con los valores absolutos de la serie es decir mirar $L=\lim_{n \to \infty} \frac{|{a}_{n+1 }|}{|{a}_{n }| }$ si $L<1$ entonces tienes que la serie es absolutamente convergente y por lo tanto la serie es convergente ya que $\sum_{n = 0}^\infty {a}_{n }\leqslant\sum_{n = 0}^\infty |{a}_{n }|<\infty$.

En cambio el reciproco es falso $\sum_{n=1}^\infty {(-1)}^{n} 1/n$ converge pero no es absolutamente convergente ya que $\sum_{n=1}^\infty 1/n =\infty$

[HanT]

Re: Duda con el criterio del cociente.

Gracias por contestar.

A mí es que el criterio del cociente me lo han dado en clase directamente aplicado a los valores absolutos de la serie. De ahí que al analizar la convergencia de n factorial partido 3 elevado a n, no sabía si la divergencia por este método tenía que interpretarla como "No es absolutamente convergente pero puede ser convergente", o "Es divergente de cualquier modo". Entiendo que es la segunda opción según lo que me cuentas. La verdad es que me parece obvio, pero ya te digo, en los apuntes como tal es un criterio aplicable a los valores absolutos de las series.

Un saludo!