Secundaria Límites sencillos

[Jorge 2014]

Sea [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Ambos límites, como representan la derivada (es decir, la pendiente) de $f(x)$, deberían salirme cero, pero no sé muy bien cómo hacerlos:


a) $lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

En este caso, como es por la izquierda del cero (algo menor que cero), es como si estuviésemos restando, por lo que $(x+h)$ sale ligeramente menor que uno: $lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = lim_{h \to 0^-} \frac{1 - 1}{h} = \frac{0}{0}$. Aplico a L'Hôpital (derivo respecto a h en el numerador el 1 - 1, y, en el denomiador, la h): $lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{d(1-1)}{dh}}{\frac{h}{dh}} = lim_{h \to 0^-} \frac{0}{1} = 0$


b) $lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

En este caso, como es por la derecha del cero (ligeramente mayor que cero), $x+h$ es ligeramente mayor que uno, por lo que $f(x+h) = \frac{1}{2}$. Por lo tanto: $lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}= lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{1}{2} - 1}{h} = lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{-1}{2}}{h} = - \infty$


¿Qué estoy haciendo mal?

[The Higgs Particle]

Re: Límites sencillos

Creo que has hecho bien los límites (que me corrijan si lo estoy diciendo mal), pero que el fallo viene de otro lado.


Esta función podría dividirse en dos rectas: A (desde $- \infty$ hasta $+1$) y B (desde $+1$ hasta $\infty$). Como son rectas paralelas al eje OX, su pendiente es cero. O, dicho de otra forma, son funciones del tipo $y = mx + b$ en las que $m = 0$.

Eso lo ves cuando calculas el límite que tú estas haciendo (con $h$), pero en un punto que no sea $1$. En 1 es discontinua, y viendo los resultados que te salen a ti podemos decir:

$lim_{h \to 0^-} \frac{f(1]+h) - f(1)}{h} \neq lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$. Por lo tanto, $\nexists lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$. O lo que es lo mismo, $\nexists f'(1)$ (no existe la derivada en ese punto).

Si haces esos límites en cualquier otro punto, te va a salir que sí que existe una derivada y que, además, es cero, como tú bien decías.

[Richard R Richard]

Re: Límites sencillos

creo que deber revisar este concepto

Ambos límites, como representan la derivada (es decir, la pendiente) de $f(x)$,

limite y derivada no es lo mismo. La derivada no es aplicable a un punto donde la función no es continua, como es el caso del punto x=1