Secundaria Optimización

[The Higgs Particle]

Se tiene un baúl con una tapadera semicilíndrica y en forma de prisma. Su volumen es de 600 cm³, su base mide 6 cm de ancho. ¿Cuáles han de ser las dimensiones de dicho baúl para que tenga la mínima área posible?

Mi duda viene en cómo sería el esquema del baúl, pues me salen hasta tres incógnitas diferentes ($y$, $x$ y $R$). ¿Debo suponer que $y = R$ o algo por el estilo?

[angel relativamente]

Re: Optimización

¿Debo suponer que $y = R$ o algo por el estilo?

No, pero tal y como está tu dibujo $2R=6\; cm$
Saludos,

[The Higgs Particle]

Re: Optimización

$2R=6\; cm$

Ostras! Segundo piscinazo en dos semanas

[Alriga]

Re: Optimización

Empieza calculando el volumen y el área:

$V=6 x y + \dfrac{\pi (6/2)^2 x}{2}=600$

$A=2\cdot 6\cdot y+2\cdot x\cdot y+6 \cdot x+ \dfrac{2 \pi (6/2) x}{2}+2 \dfrac{\pi (6/2)^2}{2}$

En la 1ª ecuación despeja "y" en función de "x" y sustituye el valor en la expresión del área, te quedará A(x)

Deriva A(x) igualas a cero, resuelves la ecuación y obtienes el valor de x que hace máxima el área.

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Optimización

la superficie del baul consta de 3 partes

1) medio cilindro de radio $R$ y largo $x$
2) 2 caras semicirculares de radio $R$
3) 5 caras de un paralilepipedo 2 alto $y$ y ancho $2R$ , dos de largo $x$ y alto $y$ , 1 una de largo $x$ y ancho $2R$.

Asi $S =\dfrac{2\pi Rx}{2}+2\cdot \dfrac {\pi R^2}{2}+ 2\cdot y2R+2\cdot xy + x2R$

como te dijo angel tienes dos incognitas solamente $x$ e $y$

Tienes que derivar $S$ con respecto a $x$ igualar a 0 y ver que condiciones de $x$ e $y$ hacen minima $S$(la derivada segunda mayor que 0), puedes tambien hacerlo derivando con respecto a y.

Edito : empece el post , pero por trabajo no lo pude terminar, con el dato del volumen tienes una relacion entre x e y , que hace tengas solo que derivar con respecto a una sola de ellas puede ser tanto x como y


Saludos

[The Higgs Particle]

Re: Optimización

Tenemos que $V_T = V_1+V_2 =600$, siendo $V_1$ el volumen correspondiendo a la parte prismática y $V_2$ el volumen de la parte cilíndrica. Por lo tanto: $V_T = \frac{12xy + 9 \pi x}{2} \to$ $x= \frac{1200}{12y + 9 \pi}$ (1)

Por otra parte, $A_T = (3 \cdot xy + 2 \cdot 6y) + (2 \cdot \frac{9 \pi}{2} + 3 \pi x)$, donde el primer paréntesis corresponde al área del prisma y el segundo, a la tapadera. Por lo tanto: $A_T = 3xy + 12y + 9 \pi + 3 \pi x$ (2)


Sustituyendo (1) en (2), tengo que:

$A_T (y) = 3y \cdot (\frac{1200}{12y + 9 \pi}) + 12y + 9 \pi + 3$ $\pi \cdot (\frac{1200}{12y + 9 \pi}) \to A_T (y) = \frac{(3600y +144 y^2) + (108 \pi + 81 \pi^2 + 3600 \pi) }{12y + 9 \pi}$

Entonces, para que sea un mínimo, ha de cumplirse que $\frac{d^1(A_T(y))}{dy} = 0$, $\frac{d^2(A_T(y))}{dy} > 0$.

$\frac{d(A_T (y))}{dy} =$ $\frac{(3600 \cdot (12y + 9 \pi) - 3600y \cdot 12) + (288 y(12y + 9 \pi) - 144y^2 \cdot 12) + (-12 \cdot (8 \pi^2 +3708 \pi))}{(12y + 9 \pi)^2}$ $= \frac{1728y^2 + 2592 \pi \cdot y - (12096 \pi + 972 \pi^2)}{(12y + 9 \pi)^2}$

Hago entonces la igualación $\frac{d^1(A_T(y))}{dy} = 0 \to \boxed{y = 3,40 (m)}$; $\boxed{x = 13,78 (m)}$


Como me daba pereza hacer la derivada segunda, para ver si es un máximo he utilizado el criterio de la primera derivada (no el de la segunda): la pendiente de $A_T (y)$ a la derecha de $y = 3,40$ es positiva y, a la izquierda, negativa.

En una calculadora gráfica, haciendo $f(y)$, obtengo:

[Alriga]

Re: Optimización

Si no me he equivocado en las operaciones:

$y=\dfrac{100}{x}-\dfrac{3 \pi}{4}$

$A=\dfrac 3 2 (4+\pi)x+\dfrac{1200}{x}+200$

$\dfrac{dA}{dx}=\dfrac 3 2 (4+\pi -\dfrac{800}{x})=0$

$x=20 \sqrt{\dfrac{2}{4+\pi}}$

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Optimización

$A_T = (3 \cdot xy + 2 \cdot 6y) + (2 \cdot \frac{9 \pi}{2} + 3 \pi x)$

Ufff, me he equivocado con un término del área del prisma. Qué pocas ganas de hacerlo todo otra vez... Lo dejaré tal cual, pues creo que el procedimiento es correcto

[Alriga]

Re: Optimización

Por otra parte, $A_T = (3 \cdot xy + 2 \cdot 6y) + (2 \cdot \frac{9 \pi}{2} + 3 \pi x)$, donde el primer paréntesis corresponde al área del prisma y el segundo, a la tapadera. Por lo tanto: $A_T = 3xy + 12y + 9 \pi + 3 \pi x$ (2)

Creo que el área lateral no la tienes bien, sería:

Delante xy
Detrás xy
Derecha 6y
Izquierda 6y
Inferior 6x
Semicírculo derecha $\dfrac{\pi (6/2)^2}{2}=\dfrac{9 \pi}{2}$

Semicírculo izquierda $\dfrac{\pi (6/2)^2}{2}=\dfrac{9 \pi}{2}$

Semicilindro $\dfrac{2 \pi (6/2) x}{2}=3 \pi x$

Si lo sumas todo sale la expresión de A que yo te había puesto.

El resumen final de valores que se obtienen es este:

$x=20 \sqrt{\dfrac{2}{4+\pi}}=10.5839 cm$

$y=7.0921 cm$

$V=600 cm^3$

$A=426.7586 cm^2$

Saludos.