Secundaria Integral simple

[Jorge 2014]

Hola, he intentado resolver esta por sustitución y por partes, pero no me sale. ¿Me podríais ayudar?

$\int \frac{1}{x^2 + 2x+ 4 } \cdot dx$

[Alriga]

Re: Integral simple

Pista:

$x^2+2x+4=(x+1)^2+3$

Piensa también en que la integral de $\dfrac{1}{x^2+1}$ es el arcotangente.
Saludos

[visitante20160513]

Re: Integral simple

Puedes descomponer el polinomio denominador en la forma:

$x^2+2x+4=(x+1)^2+3$

para posteriormente hacer el cambio de variable $x+1=t$ con lo que la integral te queda:

$\displaystyle\int\frac{1}{x^2 + 2x+ 4 }dx=\displaystyle\int\frac{1}{t^2+ 3 }dt$

A continuación puedes hacer otro cambio, te propongo $t=\sqrt{3}z$

¿Hace falta que siga? Ya está fácil ¿no?

Salu2, Jabato.

[Jorge 2014]

Re: Integral simple

$\frac{1}{3} \cdot \int{\frac{dx}{\frac{{(x+1)}^{2}}{3} + 1}} = \frac{1}{3} \cdot \int{\frac{dx}{{(\frac{x+1}{\sqrt{3}})}^{2}+1}}$

Y ahora hago el cambio $t = \frac{x+1}{\sqrt{3}}$, quedando $\frac{1}{3} \cdot arctg(t) + C$, y sólo me queda deshacer el cambio de variable. Gracias!

[Alriga]

Re: Integral simple

A mí me divierte más intentar hacerlas sin cambios de variable, así:

$\dst \int \dfrac{dx}{(x+1)^2+3}=\dfrac 13 \int \dfrac{dx}{\dfrac{(x+1)^2}{3}+\dfrac 3 3}=\dfrac{\sqrt 3}{3} \int \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt 3} dx}{\left ( \dfrac{x+1}{\sqrt 3}\right ) ^2+1}=\dfrac{\sqrt 3}{3} \tan^{-1}{\left ( \dfrac{x+1}{\sqrt 3}\right )}$

Saludos.

[visitante20160513]

Re: Integral simple

Bueno, las racionales se pueden resolver de muchas maneras, pero creo yo que es más pedagógico hacerlas con varios cambios sucesivos. El primero una traslación buscando la simetría con el eje Y, y el segundo un cambio de escala para reducir el término independiente a la unidad, dos cambios que siempre se pueden hacer si el denominador es un polinomio de segundo grado.

Salu2, Jabato.