1r ciclo Función III

[The Higgs Particle]

Me dicen que la velocidad de variación de una función $x(t)$ es proporcional a $x(1-x)$, y me piden que resuelva la ecuación diferencial y que diga a qué modelo de función corresponde.

$\frac{d}{dt} x(t) = k \cdot x(1-x) \to \frac{dx}{x(1-x)} = k \cdot dt \to \int \frac{dx}{x(1-x)} = \int k \cdot t \to \int \frac{dx}{x } + \int \frac{dx}{1-x} = k \cdot \int dt$

De aquí:

$ln|x| - ln|1-x| = k \cdot t +C \to ln|\frac{x}{1-x}| = k \cdot t + C \to ln|-1 + \frac{1}{1-x}| = k \cdot t + C$

Elevando a $e$ en ambos miembros:

$-1 + \frac{1}{1-x} = e^{kt} \cdot e^C \to \boxed{x(t) = 1 - \frac{1}{e^{kt} \cdot e^C + 1 }}$

Cosa que, francamente, no me recuerda a ningún "modelo de función"

[Richard R Richard]

Re: Función III

Me dicen que la velocidad de variación de una función $x(t)$ es proporcional a $x(1-x)$, y me piden que resuelva la ecuación diferencial y que diga a qué modelo de función corresponde.

$\frac{d}{dt} x(t) = k \cdot x(1-x) \to \frac{dx}{x(1-x)} = k \cdot dt \to \int \frac{dx}{x(1-x)} = \int k \cdot t \to \int \frac{dx}{x } + \int \frac{dx}{1-x} = k \cdot \int dt$

De aquí:

$ln|x| - ln|1-x| = k \cdot t +C \to ln|\frac{x}{1-x}| = k \cdot t + C$

Hasta aqui todo bien


$\dfrac{x}{1-x}= e^{k \cdot t +C }$

$$\dfrac{1-x}{x}= e^{-(k \cdot t +C )}=\dfrac{1}{x}-1$$

$$\dfrac{1}{x}=1+e^{-(k \cdot t +C )}$$

$x_{(t)}=\dfrac{1}{1+e^{-(k \cdot t +C )}}$

que es lo mismo que

$x(t) = 1 - \dfrac{1}{e^{kt} \cdot e^C + 1 }$


has llegado a lo correcto responde a una exponencial inversa asintótica a la unidad

Edito compruebas con

$\dfrac{\partial x}{\partial t}=\dfrac{ke^{-(k \cdot t +C)} }{(1+e^{-(k \cdot t +C )})^2}$

reemplazando por las igualdades 1 y 2

$\dfrac{\partial x}{\partial t}=\dfrac{k (\dfrac 1x -1)} {\dfrac 1{x^2}}=kx^2\dfrac{1-x}x =kx(1-x)$

con $k=10$ y $c=1$




Saludos $\mathbb R^3$

[arivasm]

Re: Función III

Sólo una pequeña aportación: como $\ee^C$ es la exponencial de un número real arbitrario el resultado será, a su vez, un número real arbitrario (pero positivo y no nulo). Si llamamos, por ejemplo, $A=\ee^C$ queda una expresión más cómoda de manejar: $\dst \frac{x}{1-x}=A\ee^{kt}$, y entonces $\dst x(t)=\frac{1}{1-A^{-1}\ee^{-kt}}$. Como $B=A^{-1}$ es, de nuevo, un número real arbitrario (también positivo y no nulo), finalmente tenemos una expresión "bonita" $\dst x(t)=\frac{1}{1-B\ee^{-kt}}$.

[The Higgs Particle]

Re: Función III

Gracias!