1r ciclo Gradientes y derivadas direccionales

[The Higgs Particle]

Hola, tengo unas dudas (pero concretas) sobre gradientes y las derivadas direccionales:


1. ¿Por qué el vector gradiente me indica la dirección en la cual la función aumenta más rápidamente?

Sea $f(x,y)$ y el punto en el que nos encontramos, $P_0 (x_0,y_0)$, entonces: $\nabla f_{(x_0, y_0)} = (\frac{\partial f}{\partial x}x_0, \frac{\partial f}{\partial y}y_0)$, y $\frac{\partial f}{\partial x}x_0$ representa la pendiente de la función tras haber hecho un corte en el plano $XZ$ $y=0$, y situándonos en el punto $x_0$. Lo mismo para $y_0$ (pero con el eje $YZ$).

Si, por ejemplo, nos sale la derivada parcial de la función respecto a $x$ en $x_0$ negativa (como podría ser $-3$), significa que, en ese punto (y teniendo en cuenta lo anteriormente dicho sobre el plano de corte), la función es decreciente (concretamente, en ese punto, por cada unidad de distancia que nos desplacemos hacia el sentido positivo de las X, $z$ disminuye en $3$ unidades). Inversamente: si nos desplazamos en el sentido negativo de las X, la función va a tomar valores más grandes. De aquí que entienda que el gradiente, en cuanto a las X, ha de tener la componente negativa. Pero, ¿por qué 3?




2. Significado del valor numérico de una derivada direccional

Sea $D_{\vec v} f = {\nabla \vec {f}_{(x_0, y_0)}} \cdot \vec v$, si nos sale, por ejemplo, $8$, ¿queremos decir que, por cada unidad de longitud que avancemos en la dirección del vector $v$ nuestra función aumenta en $8$ unidades?

[garrak]

Re: Gradientes y derivadas direccionales

Esa misma duda (la primera) me surgió a mí hace unos dos días y creo que llegué a resolverla, por lo que a ver si alguien viene y lo confirma, pero creo que es así por lo siguiente. Sabemos que en cada punto $\vec{x}$ donde $\vec{f} : {$\mathbb{R}$}^{n} \to {$\mathbb{R}$}^{k}$ es diferenciable se cumple que:

$\forall \vec{v} \in {$\mathbb{R}$}^{n}$ unitario, $\exists {D}_{\vec{v}}\vec{f}(\vec{x}) = {J}_{f}(\vec{x})V$

siendo J el jacobiano y V la columna de componentes del vector unitario $\vec{v}$ .

Para el caso concreto de f: ${$\mathbb{R}$}^{n} \to $\mathbb{R}$$ diferenciable

${D}_{\vec{u}}f(\vec{x}) = \nabla f(\vec{x})$ · $\vec{u}$ $\forall \vec{u}$ unitario

Por lo tanto, ese producto escalar será máximo cuando el gradiente y el vector sean paralelos.

[Julián]

Re: Gradientes y derivadas direccionales

Porque cada componente del gradiente, siendo este un vector, es la variación de la función con respecto a la variable independiente en cuestión. Sea así la variación de una función f(x,y en la dirección de x
$\dst<br /> \frac{\partial f}{\partial x }=\lim_{\delta x \to 0} \frac{f(x+\delta x , y) - f(x,y)}{ \delta x}$

Se observa que solo se deriva con respecto a $x$ y $y$ se deja constante, es más es una derivada como una función de una sola variable y $t$ es constants de la misma forma que un escalar

De esta forma, $\frac{\partial f}{\partial x}$ se obtiende dando un pequeño incremento a x y observando la razón de cambio $\frac{f(x+\delta x , y) - f(x,y)}{ \delta x}$ y si se deja como constante $y$ solo tienes 2 direccones en la dimensión $\hat{i}$ que son $\delta x$ y $- \delta x$.

Lo mismo para $y$

$\dst<br /> \frac{\partial f}{\partial y }=\lim_{\delta y \to 0} \frac{f(x, y+ \delta y) - f(x,y)}{ \delta y}$


Luego en el gradiente tomás todos esos cambios de la función con respecto a cada variable.

$\dst \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{j}$

Donde se tiene en cuenta las razones de cambio de f con respecto a cada variable. En cualquier otra dirección no se tendrá en cuenta eso.

Ahora si tomas una dirección de un vector $\vec{v} = cos (45 \º ) \hat{i} + sen (45 \º) \hat{j}$, ese vector tiene la mitad en cuanto a módulo que $\hat{i} + \hat{j}$ para las direcciones en $x$ y en $y$, por ende la variación de la función será menor. Y no podrá haber un vector que tenga una mayor variación que el gradiente ya que se toman vectores unitarios. Porque los vectores unitarios marcan dirección. Repasa vectores unitarios y verás que el único vector unitario que "varía" mas en la dirección $y$ es solo $\hat{j}$

¿Cual es el mayor vector unitario en la dirección de $x$? pues solo $\hat{i}$

Sea , si nos sale, por ejemplo, , ¿queremos decir que, por cada unidad de long itud que avancemos en la dirección del vector nuestra función aumenta en unidades?

No, la derivada es el cociente incremental cuando la variable independiente tiene una variación que tiende a cero. Es decir si sale 8, eso indica que la pendiente de la recta tangente es 8 en la dirección de $\hat{v}$. O en otras palabras que tras un incremento infinitesimal de la función en dirección de $\hat{v}$ el cambio es 8.

[alexpglez]

Re: Gradientes y derivadas direccionales

La derivada direccional es equivalente a una derivada total. Si tienes una función $f(x,y,z)$ y quieres saber cuanto vale su derivada total con respecto al tiempo, (con x y z dependientes del tiempo).

$$\frac{df(x,y,z)}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{dt}=$$

$$=(\frac{\partial f}{\partial x}\vec \imath +\frac{\partial f}{\partial y}\vec \jmath + \frac{\partial f}{\partial z} \vec k) \cdot ( \frac{dx}{dt}\vec \imath +\frac{dy}{dt} \vec \jmath+ \frac{dz}{dt} \vec k)= \vec \nabla f \cdot \vec v$$

Saludos

Añado que teniendo en cuenta la equivalencia de derivada direccional con gradiente * vector, se puede definir fácilmente a partir de aquí el gradiente en otro tipo de coordenadas.