Otras carreras integral racional

[propanotriol]

En la resolución de esta ecuación diferencial:

$\sqrt{x^2+1}yy'=y+\sqrt{y^2+1}$

llego a tener que realizar esta integral:

$\int \frac{y}{y+\sqrt{y^2+1}}dy$

Intento de todo pero no llego a nada, me huelo un cambio de variable, pero ninguno de los intentados ha ayudado...

Agradecería una pista.

Un saludo.

[visitante20160513]

Re: integral racional

¿Has probado y=Tan(z)?
¿Has probado y=Snh(z)?

Uno de estos dos debería de funcionar, creo.

[Alriga]

Re: integral racional

$\dst \int \frac{y \ dy}{y+\sqrt{y^2+1}}=\int \dfrac{dy}{1+\sqrt{1+\dfrac{1}{y^2}}}=$

racionalizando para eliminar la raíz del el denominador:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dst =\int (-y^2+y \sqrt{y^2+1}) dy=\int (-y^2+\dfrac 1 2 \ 2 y \sqrt{y^2+1}) dy$

$=-\dfrac{y^3}{3}+\dfrac 1 2 \dfrac{(y^2+1)^{\frac 3 2}}{\dfrac 3 2}+C=\dfrac 1 3 [ \ -y^3 + \sqrt {(y^2+1)^3} \ ]+C$

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: integral racional

creo que viene por el lado de hacer cambios de variables con funciones hiperbolicas $y=\cosh w$


sabiendo la relacion $1= \cosh^2x-\sinh^2x$

donde $\cosh w =\sqrt{1+\sinh^2 w}$

y que $\dfrac{ \dd y}{\dd w}=\dfrac{ \dd \cosh w}{\dd w}= \sinh w$


entonces


$\dst \int \dfrac{y}{y+\sqrt{y^2+1}}dy=\dfrac{\sinh w \cosh w}{\cosh w+\sinh w} \dd w$

luego

$\sinh w+\cosh w =\ee^w$

$\sinh w\cdot \cosh w =\frac 14 (-\ee^{-w}+\ee^w)\cdot(\ee^{-w}+\ee^w)$

reemplazando

$\dst \int \dfrac{y}{y+\sqrt{y^2+1}}dy=\dst \int \dfrac{\frac 14 (-\ee^{-w}+\ee^w)\cdot(\ee^{-w}+\ee^w)}{\ee^w} \dd w=\dst \int \frac 14 (-\ee^{-3w}+\ee^w) \dd w<br />$

creo resolver eso es mas facil ( sino me he equivocado )

luego reemplazas w por $w = \mathop{\mathrm{arccosh}} y = ln(y+\sqrt{y^2-1})$


saludos $\mathbb R^3$

[propanotriol]

Re: integral racional

¡Gracias por las respuestas!

He intentado con los cambios que me ofrecía Jabato, pero no llegaba a nada concreto o "más fácil".

El desarrollo de Alriga parece correcto, es la respuesta esperada, y intentaré a ver donde llego con lo que me propone RRR.

Muchas gracias.