1r ciclo Volumen Integrales Triples

[rujasmone]

Hola, a ver si alguien puede echarme una mano,

Calcular el volumen encerrado entre el cono $z^2=x^2+y^2$ y el plano $2z=y+2$.

El problema que tengo es qeu no encuentro los límites de integración.
Veo que el plano al cortar al cono genera una elipse sobre el plano XY, pero no soy capaz de llegar a nada que tenga sentido.

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Volumen Integrales Triples

Primero voy a suponer que hablas del cono donde $z\geqslant 0$

es un cono centrado en el origen

$$z^2=x^2+y^2$$

y el plano

$$2z=y+2$$

para $x=0$ la ecuacion 1 se transforma en

$|z|=|y|$ correspondiente a las rectas

$$z=-y$$

y

$$z=y$$

reemplazando 3 en 2

$2(-y)=y+2 \:\mapsto\: y=-\frac23 \:\mapsto\: z=\frac23$


reemplazando 4 en 2

$2y=y+2 \:\mapsto\:y=2 \:\mapsto\: z=2$

$x$ es tu variable dependiente de $y$ y $z$


$x=\pm\sqrt{z^2-y^2}$ usas $+\sqrt{z^2-y^2}$ como limite superior y $-\sqrt{z^2-y^2}$como limite inferior.

como tu curva inferior tiene un funcion para las $y$ positivas y otra para las $y$ negativas separas la integral en dos

una en que z esta comprendida entre dos funciones la superior $z=\frac y2+1$ y la inferior $z=-y$ en el intervalo $y\in[-\frac23,0]$

y otra en que z esta comprendida entre dos funciones la superior $z=\frac y2+1$ y la inferior $z=y$ en el intervalo $y\in[0,2]$



Saludos $\mathbb R^3$

[rujasmone]

Re: Volumen Integrales Triples

He entendido bien como se toman los límites de integración, pero el problema que me surge ahora está en el cálculo de las integrales, cuando intento derivar con respecto de z obtengo algo muy complicado que no me deja llegar al final.
Pienso que igual podría pasar de rectangulares a otro sistema de coordenadas, pero sigo llegando a cosas muy complicadas.

Saludos y gracias

[Richard R Richard]

Re: Volumen Integrales Triples

lo que tienes que hacer es


$V=\dst\int^0_{-\frac23}\dst\int^{\frac y2+1}_{-y}\dst \int^{\sqrt{z^2-y^2}}_{-\sqrt{z^2-y^2}} \dd x \dd z \dd y +$$\dst\int^2_0\dst\int^{\frac y2+1}_{y}\dst \int^{\sqrt{z^2-y^2}}_{-\sqrt{z^2-y^2}} \dd x \dd z \dd y$

donde

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

usas

$\dst \int \sqrt{x^2\pm a^2}\:\dd x=\frac x2 \sqrt{x^2\pm a^2}\pm \dfrac {a^2}{2} \ln (x+\sqrt{x^2\pm a^2})+C$

algo debe simplificarse para hacer la ultima integral.... quiza haya algo mejor por hacer que lo que te propongo.


Por otro lado , no se que es lo que intentas derivar con respecto a z..... estas haciendo algun cambio de variables ?


Saludos $\mathbb R^3$

[rujasmone]

Re: Volumen Integrales Triples

Muchas gracias, es lo que estaba haciendo pero yo llego a unas integrales que no se pueden resolver.
Estaba intentando expresarlo en coordenadas cilíndricas, pero no llego a nada.

Gracias por usar tu tiempo en ayudarme. Seguiré dándole vueltas a ver si llego a encontrar la solución.