Otras carreras Ecuaciones diferenciales

[propanotriol]

El enunciado dice así:

La velocidad a la que un fluido se filtra de un contenedor es proporcional a la raiz cuadrada de la altura del líqudo encima del orificio.
-En el caso d un contenedor cilíndrico de sección (horizontal) constante A con un orificio en su base, determina el nivel del líquido en el contenedor en funcion del tiempo sabiendo que el contenedor se vacía en un tiempo T y que la altura inicial del líquido es de $y_0$

En este caso hago esto:

$\frac{dy}{dt}=\sqrt{y}C$

resuelvo en y(t) y determino las constantes C y la constante de integración y me queda la solución:

$y(t)=y_0(1-\frac{t}{T})^2<br />$
Que es la buena respuesta.

Segundo apartado:

-Idem en el caso de un contenedor cónico de altura H y ra radio máximo R.

Aquí no veo la diferencia entre el primer apartado... ¿De qué me sirve R y H? En un primer tiempo habia supuesto que el contenedor se vacíaba en T/3 pero no lleva a nada...

¿Cómo debería proceder?

Un saludo.

[Alriga]

Re: Ecuaciones diferenciales

Que la velocidad a la que un fluido se filtra de un contenedor a través de un orificio pequeño sea proporcional a la raíz cuadrada de la altura del líquido encima del orificio es el Teorema de Torricelli. Teorema de Torricelli
$v=\sqrt{\rho g h}$ y no depende de la forma del contenedor, solo de la altura.
O sea, que yo tampoco le veo sentido al segundo apartado.
Saludos.

[propanotriol]

Re: Ecuaciones diferenciales

La respuesta ofrecida para el segundo apartado es:

$y(t)=y_0(1-\frac{1}{T})^{\frac{2}{5}}$

No entiendo de donde ha tenido que "salir" el exponente 2/5

[carmelo]

Re: Ecuaciones diferenciales

La sección no es constante, sino que varía en función de la altura:

Puedes establecer que el radio de la sección circular a la altura y es :

$r(y) = \dfrac{R}{H}y$

con lo que el volumen en función de la altura es:

$V(y) = \dfrac{1}{3}\pi r(y)^2 y = \dfrac{\pi R^2}{3H^2}y^3$

y

$\dfrac{\dd V}{\dd t}=k\sqrt{y}$

o

$y^{\frac 3 2}\dd y=k\prime \dd t$

Ahora solo hay que resolverla y utilizar las condiciones iniciales.

Saludos
Carmelo

PD: No había visto tu respuesta, pero es a la que llegas haciendo este planteo, supongo que donde pusiste un 1 es una t.

Alriga. La velocidad no depende de la forma del contenedor. El nivel del líquido si.

[propanotriol]

Re: Ecuaciones diferenciales

Tenía esa idea en la cabeza sobre el volumen peor no llegaba a entederla, ¡muchas gracias!

Y, no, es bien un 1, al determinar las determinantes se puede poner $Y_0$ como factor común y queda un uno.

Un saludo y felices fiestas.

[Alriga]

Re: Ecuaciones diferenciales

Y, no, es bien un 1, al determinar las determinantes se puede poner $Y_0$ como factor común y queda un uno.

No puede ser un 1, si no, y(t) no dependería de t.
Saludos.

[propanotriol]

Re: Ecuaciones diferenciales

Hostia, sí xDDDD es un uno eso, yo creía que hablábais del otro.

La respuesta es bien: $y(t)=y_0(1-\frac{t}{T})^{\frac{2}{5}}$