1r ciclo Ejercicio de demostración de números complejos

[oganesson]

Buenas gente. No consigo resolver el siguiente ejercicio de números complejos. Es de la asignatura de Calculo Diferencial e Integral I del primer curso de física. Si alguien pudiera ayudarme se lo agradecería mucho El problema es el siguiente:

Demostrar que, si $n=3k$, entonces $(1+\sqrt3 i)^n = \pm2^n$

He llegado a la conclusión de que el número complejo $z=1+\sqrt3 i$ elevado a la n-ésima potencia se puede representar por la expresión $z^n=|z|^n (cos (n\theta) + isen (n\theta))$ y teniendo en cuenta que $|z|=\sqrt{1^2 + (\sqrt3)^2}$, $|z|^n=\pm2^n$ lo cual es la respuesta a $z^n$. Por tanto, la expresión $cos (n\theta) + isen (n\theta)$ tiene que ser igual a 1 de alguna forma cuando $n=3k$. He llegado hasta ahí. No sé por qué esa expresión da 1. Me imagino que sera debido a alguna identidad trigonométrica pero no consigo que me de el resultado.

Espero haber dado información suficiente. ¡Un saludo a todos y gracias de antemano a los que intenteis ayudarme!

[Alriga]

$1+\sqrt3 i$

Módulo:

$M=\sqrt{1^2+3}=2$

Argumento

$\alpha=\arctan \dfrac{\sqrt 3}1=60^o$

Por lo tanto:

$(1+\sqrt3 i)^n=(2\angle 60^o)^n=2^n \angle n\cdot 60^o=2^n \angle 3k\cdot 60^o=2^n \angle k\cdot 180^o$

Si das valores a k=0, 1, 2, 3,.... obtienes argumentos de 0º, 180º, 360º, 540º, 720º ...

$2^n \angle 0^o=2^n$

$2^n \angle 180^o=-2^n$

etc ...

Saludos.

[oganesson]

Mil gracias por la respuesta! Un saludo!

[Alriga]

Nota oganesson que para la expresión módulo argumental del número complejo he usado la típica notación “ingenieril”

$a+b i=M\angle \alpha$

Los físicos usáis más la más elegante notación exponencial del número complejo:

$a+b i=z \ \ee^{i\alpha}$

En nuestro caso

$z=\sqrt{1^2+3}=2$

$\alpha=\arctan \dfrac{\sqrt 3}1=60^o=\dfrac{\pi}3$

Por lo tanto

$(1+\sqrt3 i)^n=\left (2\cdot\ee^{i\dfrac{\pi}3}\right )^n=2^n\cdot \ee^{ i\dfrac{n\pi}3}=2^n\cdot \ee^{ i\dfrac{3k\pi}3}=2^n\cdot \ee^{ i k \pi}=2^n\cdot (\cos k\pi+i\sin k\pi)=2^n\cdot \cos k\pi$

Saludos.