Secundaria integral

[geronimohelguera]

Hola, me dicen que resuelva el integral por método de sustitución pero se me complica para poder aplicar la integral no se como encarar al final

[carmelo]

Re: integral

Hola.

$\dst\int \dfrac{\cos x}{\sqrt{4e^{2\sin x}-1}}\dd x =\dst\int \dfrac{\dd u}{\sqrt{4e^{2u}-1}}= \dst \int\dfrac {\dd z}{2z\sqrt{z-1}} =\dst \int \dfrac{\dd t}{1+t^2}=\arctan t + \text{C}$

Donde los cambios de variables fueron:

$u = \sin x$
$z = 4e^{2u}$
$t^2 = z - 1$

Volviendo para atrás con los cambios de variable se tiene:

$\dst\int \dfrac{\cos x}{\sqrt{4e^{2\sin x}-1}}\dd x = \arctan \sqrt{4e^{2\sin x} -1}+\text {C}$


Saludos
Carmelo

[Richard R Richard]

Re: integral

si llamas

$$u=\sqrt{4e^{2\sin x}-1}$$

tienes que

$$4e^{2\sin x}=1+u^2$$

si derivas 1 obtienes

$$\dd u =\dfrac{4e^{2\sin x}2\cos x}{2\sqrt{4e^{2\sin x}-1}}\dd x$$

despejando en 3

$$\dd x = \dfrac{2\sqrt{4e^{2\sin x}-1}}{4e^{2\sin x}2\cos x}$$

=

reemplazando lo que valen 1 y 2 en 4 $\dd x= \dfrac{u}{4(1+u^2)}\dd u$
Edito: correccion de carmelo

si la integral era $\dst \int \dfrac {\cos x}{\sqrt{4e^{2\sin x}-1}}\dd x =\int \dfrac 1u \dfrac{u}{4(1+u^2)}\dd u=\int \dfrac 1{4(1+u^2)}\dd u$


que da una mas facil de resolver por otro método creo que es el de fracciones parciales pero sino , creo si la buscas aqui

te traes $\dst \int \dfrac 1{x^2+a^2}\:\dd x=\dfrac 1a\arctan \dfrac xa+C=<br /> -\dfrac 1a arccot \dfrac xa+C<br />$

luego continuas dando los valores de u en funcion de x


revisa bien por si hay algun error , lo hice de un tiron y no pude revisar

Saludos $\mathbb R^3$

[carmelo]

Re: integral

. . . si la integral era $\dst \int \dfrac 1{\sqrt{4e^{2\sin x}-1}}\dd x$

...

La integral era

$\dst \int \dfrac {\cos x }{\sqrt{4e^{2\sin x}-1}}\dd x$


Saludos
Carmelo

[geronimohelguera]

Re: integral

gracias si lo pude resolver, si me queda como arctanx, saludos