Cálculo de límites

[Al2000]

Bueno, por pura diversión...$\dst \lim\limits_{x \to 7}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2} = ?$

Numerador:

$\dst \sqrt {x+2} - \sqrt [3]{x+20} = \frac {(x+2)^{3/2} - (x+20)}{(x+2) + \sqrt {x+2} \cdot \sqrt [3]{x+20}+(x+20)^{2/3}}$

$\dst (x+2)^{3/2} - (x+20) = \frac {(x+2)^3 - (x+20)^2}{(x+2)^{3/2} + (x+20)}$

$\dst (x+2)^3 - (x+20)^2 = x^3 + 5 x^2 - 28 x - 392 = (x-7)(x^2 + 12 x + 56)$

Denominador:

$\dst \sqrt [4]{x+9} - 2 = \frac {\sqrt {x+9} - 4}{\sqrt [4]{x+9} + 2}$

$\dst \sqrt {x+9} - 4 = \frac {x + 9 - 16}{\sqrt {x+9} + 4} = \frac {x-7}{\sqrt {x+9} + 4}$

Júntese todo, cancélese el odioso factor (x-7) y evalúese.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[oganesson]

Joder, ha habido que escarbar hasta el núcleo de la tierra para sacar ese factor . Gracias por el aporte!

[carroza]

Hola. Una sugerencia, quizás un poco tardía.

En los límites, como en la integrales, podemos cambiar de variables. En este caso, es util definir $x= 7 +y$, con lo cual el límite cuando $x \to 7$ es equivalente al limite cuando $y \to 0$. Haciendo esta transformación queda


$lim_{y \to 0} { (9 + y)^{1/2} - (27 + y)^{1/3} \over (16 + y)^{1/4} - 2}$

que es, quizás, más fácil de resolver

[oganesson]

Para nada tardía! Me parece interesante considerar las diferentes formas que ve cada uno a la hora de calcular el límite. Cuantas mas mejor, gracias.