1r ciclo límite doble cuando x e y tienden a infinito

[franco_c2]

Hola! tengo el límite cuando x e y tienden a infinito de esta función $f(x)=\frac{x+y}{x^2+y^2}$. La gráfica me dice que el límite seguro tiende a cero, pero cómo lo pruebo? Intento aplicar la definición pero ahí es donde está el problema, porque tengo que definir el entorno de un punto, y yo no tengo ningún punto, solo infinito

[Alriga]

Re: límite doble cuando x e y tienden a infinito

$f(x, y)=\dfrac{x+y}{x^2+y^2}=\dfrac{x}{x^2+y^2}+\dfrac{y}{x^2+y^2}=\dfrac{\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{y^2}{x^2}}+\dfrac{\dfrac{1}{y}}{\dfrac{x^2}{y^2}+1}$

-El primer sumando tiende a cero cuando x tiende a infinito para cualquier valor positivo de y
-El segundo sumando tiende a cero cuando y tiende a infinito para cualquier valor positivo de x
La suma de 0 + 0 = 0

Igual hay otra forma mejor de demostrarlo, pero no se me ocurre.
Saludos

[Al2000]

Re: límite doble cuando x e y tienden a infinito

Una idea... ¿sería posible escribir la función como $\dst f_{(r, \theta )} = \frac {r \cos \theta + r \, \mathrm {sen} \, \theta }{r^2}$, simplificar y tomar el límite cuando $r \to \infty$?

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Breogan]

Re: límite doble cuando x e y tienden a infinito

Hola:

Hola! tengo el límite cuando x e y tienden a infinito de esta función $f(x)=\frac{x+y}{x^2+y^2}$. La gráfica me dice que el límite seguro tiende a cero, pero cómo lo pruebo? Intento aplicar la definición pero ahí es donde está el problema, porque tengo que definir el entorno de un punto, y yo no tengo ningún punto, solo infinito

No me acuerdo mucho del tema, así que no se si lo que planteo tiene valor general:

$\dst \lim_{(x,y) \to (\infty,\infty)}\frac{x+y}{x^2+y^2}$

tomamos $y = m x \quad \forall \ m \ \mathbb R$ reemplazando en la anterior:

$\dst \lim_{x \to \infty}\frac{x+m x}{x^2+(m x)^2} = \lim_{x \to \infty}\frac{x (1+m)}{x^2(1+m^2)} = \lim_{x \to \infty}\frac{ (1+m)}{x(1+m^2)} =\frac 1{\infty} \ \frac{1+m}{1+m^2} = 0 \quad \forall \ m \ \mathbb R$

s.e.u.o.

Suerte

[carmelo]

Re: límite doble cuando x e y tienden a infinito

Hola.

$\dst\lim_{\mathbf{r} \to\infty}f(\mathbf{r})=L$

Significa que:

Dado $\epsilon>0\: \exists\: N_\epsilon>0\; /\; \vert\vert f(\mathbf{r})-L\vert\vert <\epsilon$ si $\vert\vert \mathbf{r}\vert\vert >N_\epsilon$

Tomando $N_\epsilon = \dfrac 1 \epsilon$ y $\vert\vert\mathbf {r} \vert\vert =\sqrt{x^2+y^2} \Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}>N_\epsilon$

$\left\vert\dfrac{x+y}{x^2+y^2}-0\right\vert =\left\vert\dfrac{\sqrt{x^2+y^2-2xy}}{x^2+y^2}\right\vert\leqslant\left\vert\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2}\right\vert$ $=\dfrac {1}{\sqrt{x^2+y^2}}<\dfrac1 N_\epsilon=\epsilon$

Saludos
Carmelo

[visitante20160513]

Re: límite doble cuando x e y tienden a infinito

Otra forma es utilizar las propiedades de los vectores.

Habida cuenta de que:

$x=\mathbf {ri}\qquad\qquad y=\mathbf{rj}$


resulta que:

$\displaystyle\left|\frac{x+y}{x^2+y^2}\right|=\displaystyle\left|\frac{\mathbf r(\mathbf{i+j})}{r^2}\right|\leqslant\frac{|\mathbf r||\mathbf{i+j}|}{r^2}=\frac{r\sqrt{2}}{r^2}=\frac{\sqrt{2}}{r}\qquad\to\qquad 0$

Al tomar límites en esta desigualdad resulta lo que queremos demostrar.


Salu2, Jabato.

[angel relativamente]

Re: límite doble cuando x e y tienden a infinito

Hola, intentando sintetizar, lo que se suele hacer en estos límites es lo siguiente.
A priori tú no sabes si eso tiene límite ni en caso de tenerlo cuál es (la gráfica no es trivial si no tienes un programa que te la haga). Así que lo que se suele hacer es probar un límite direccional, tal como te muestra Breogan en su mensaje. Recuerda que solo si todos los límites direccionales cocinciden en el valor entonces existe límite y es ese mismo valor. En particular, el límite en la dirección $y=mx$ es el límite en una dirección (ni de lejos son todas las posibles por mucho que lo hagas $\forall m$, también puedes tomar una dirección parabólica) y da cero haciéndolo como Breogan. Eso solo implica que EN CASO DE EXISTIR sería 0. Una vez sabemos a "dónde nos tenemos que acercar", se intenta acotar por la norma como hace carmelo en su mensaje. Observa que lo que hace carmelo es acotar $f(x)-L$ ya sabiendo que $L=0$.
Saludos,