Recinto de integración

[cristianoceli]

Hola estaba estudiando multivariable y resulta que me atasque con este ejercicio que me pide calcular esta integral $\displaystyle\int_{}^{} { \displaystyle\int_{}^{} }_R (x^2+y^2) dR$ donde $R = \{ (x,y) | x^2+y^2 \leq{4} \}$ pero no logro ver el recinto de inegración es decir los limites de la integral.


Saludos

[Richard R Richard]

Hola cristian fijate que toda circunferencia en el plano la puedes escribir como

$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

donde R es el radio y (a,b) es el punto donde esta el centro de la circunferencia. en este problema puedes deducir sin problemas que R=2 y (a,b)=(0,0)

El recinto es el conjunto de puntos donde evaluar la integral y son todos los puntos de la superfice circular con radio menor o igual a 2

entonces para fijar limites de integación te fijas que valores puede tomar x cuando y va variando

$y^2=R^2-x^2$

entonces

$y=\pm\sqrt{R^2-x^2}$

para saber los limites de x , has nula y veras que x puede variar entre$x=\pm2$

Luego tu integral queda

$I=\displaystyle\int_{-2}^{2} { \displaystyle\int_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{+\sqrt{R^2-x^2}} } (x^2+y^2) dydx$

hay formas mas sencilla de reolver la integral dandote cuenta que hay simetrias ... el hemisferio superior debe ser igual inferior y el izquierdo igual al derecho

entonces conviertes la integral en


$I=2\displaystyle\int_{0}^{2} 2{ \displaystyle\int_{0}^{+\sqrt{R^2-x^2}} } (x^2+y^2) dydx$

Tambien puedes usar coordenadas polares

$x=R\cos \theta$

$y=R\sin\theta$




si usas esto $x^2+y^2=R^2$

y el jacobiano de la transformación es $J(x,y,R,\theta)=\left|\begin{aligned}\dfrac{dx}{dR}&\dfrac{dy}{dR}\\ \dfrac{dx}{d\theta}&\dfrac{dy}{d\theta}\end{aligned}\right| =$$\left|\begin{aligned}\cos\theta &\sin\theta \\ -R\sin\theta & R\cos\theta \end{aligned}\right| =R$

la integral se resuelve fácilmente viendo que

$I=\dst\int_0^{2\pi}\int_0^R R^2 J(x,y,R,\theta) dRd\theta=\dst\int_0^{2\pi}\int_0^R R^3 dRd\theta$


que también se puede reducir pensando que cada cuadrante es simétrico a los demás entonces

$I=\dst 4\int_0^{\pi/2}\int_0^R R^3 dRd\theta$

esto te sera particularmente util si te piden evaluar funciones sinusoidales entre esos mismo limites..


Te dejo a ti integrar y probar que todas las integrales conducen al mismo resultado.

[cristianoceli]

Muchas gracias Richard muy claro.


Saludos