1r ciclo Parametrización

[cogujada]

Hola, alguien podría si es tan amable de ayudarme a paremtrisar una superficie (para poder hacer la integral de línea). O sea
tengo una esfera de radio 5 y centro en (0,0,3.75), cual es su parametrisación?
Muchas gracias de anetmano

[Alriga]

... tengo una esfera de radio 5 y centro en (0, 0, 3.75) ¿cuál es su parametrización?

En coordenadas esféricas, con los parámetros "u" y "v" una parametrización de esa esfera es:

$$x=5\cos u\cos v$$

$$y=5\sin u \cos v$$

$$z=3.75+5\sin v$$

Con $0\leq u \leq 2\pi$ y $-\pi / 2 \leq v \leq \pi/2$

Saludos.

[cogujada]

De todas maneras, no entiendo muy bien o sea. Yo necesito la parametrisacion de la curva, y en teoria se puede hacer con cordenadas polares o algo asi. Le pongo un ejemplo que nos puso nuestro profesor:
Para la esfera de centro 0,0,0 y radio 1:
x=cos t
y= sen t
z = 0

Pero claro, nuestra esfera es de radio 5 y centro 0,0,3.75
Como sera en este caso? Gracias por su misericordia...

[Alriga]

Por favor cogujada, no uses los comentarios como la forma normal de proseguir con un hilo. Usa la ventana de abajo y "Responder"
Saludos.

[cogujada]

Muchísimas gracias! Son los mejores

[Alriga]

... un ejemplo que nos puso nuestro profesor:
Para la esfera de centro 0,0,0 y radio 1:
x=cos t
y= sen t
z = 0

Eso es una parametrización de la intersección entre la esfera de radio 1 con centro en el origen y el plano z=0. Es por lo tanto la parametrización de la circunferencia centrada en el origen de radio 1 contenida en el plano XY

... Yo necesito la parametrización de la curva ...

¿De qué curva? En la esfera de radio 5 y centro (0, 0, 3.75) hay infinitas curvas contenidas cada una con una parametrización diferente. Entre todas ellas, ¿cuál es la curva concreta que tú quieres parametrizar?

Saludos.

[cogujada]

Perdone por no utilizar esta ventana. Okey a ver le escribo el enunciado a ver si usted me puede ayudar porque de verdad que llevo varios dias atascado y no se que hacer:

"Sea g(x,y,z) el campo vectorial = (-y, x, 0) y V el rotacional del campo vectorial g(x,y,z). Calcule la siguiente integral de Superficie:
∫ _s V * dS
Donde S es la superficie de una esfera truncada de radio 5, centro (0,0,3.75) (IMAGEN ADJUNTADA). Recuerde que la integral es el fujo de gases que atraviesan la superfcie de la esfera"


Bueno pues que el problema que me surge es que para hacer la integral de superficie debo parametrisar la superficie y no se como se hase. Se me ocurre entonces utilizar el teorema de Stokes (creo que se puede) y entonces debo parametrisar la curva que no se como se hase (para poder usar el teorema de Stokes y hacer la integral de linea ya que segun el teorema de Stokes: ∫_∂S V + dr = ∫ _s V * dS )

[Richard R Richard]

La superficie tridimensional de una esfera no puede ser descripta por una una parametrización que presente un único parametro t, por eso alriga usa dos u y v.

La forma general para parametrizarla esfera es convertir las formula cartesiana en coordenadas esféricas, luego trasladar el centro de la esfera al punto del espacio que necesites

$x'=R\cos u \cos v$
$y'=R\sin u\cos v$
$z'=R\sin v$

Eso parametriza la superficie respecto de su centro ubicado en el origen de coordenadas y ahora la mueves por es espacio haciendo una traslacion, es decir le sumas la coordenadas del centro.

$x=x'+c_x$
$y=y'+c_y$
$z=z'+c_z$

Y así si reemplazas valores llegas al resultado que te brindo Alriga.

[cogujada]

Si pero lo que pasa ahora es que no enteindo entonces como hago la integral. No entiendo o sea, que integal utilizo (superfisie o linea) y como se haria? Muchas grasias a ambos

[Richard R Richard]

Es Stokes o Gauss lo que tienes que aplicar?, es el flujo del campo V lo que tienes a través de la superficie cerrada, y por lo que entiendo si el campo viene de un potencial que es un rotacional, el flujo de ese campo tanto entra como sale de l a superficie por lo que en definitiva la integral es nula...Estoy muy oxidado con esto pero creo que es así. Por favor espera a ver si convalidan lo que digo.

[Alriga]

... S es la superficie de una esfera truncada de radio 5, centro (0,0,3.75) (IMAGEN ADJUNTADA) ...

No está completamente claro, pero parece que se sobreentiende que la esfera está truncada por el plano XY (z=0)

Ecuación de la superficie esférica:

$x^2+y^2+(z-3.75)^2=5^2$

Plano que la corta:

$z=0$

La intersección de ambas superficies:

$x^2+y^2+(0-3.75)^2=5^2$

$x^2+y^2=5^2-3.75^2$

$x^2+y^2=10.9375$

$$x^2+y^2=3.3072^2 \quad ; \quad z=0$$

Una parametrización de esta curva (que obviamente es una circunferencia) es (coordenadas cilíndricas $0\leq t \leq 2\pi$) :

$x=3.3072\cos t$

$y=3.3072\sin t$

$z=0$

Ya puedes aplicar el Teorema de Stokes.

Saludos.

[Richard R Richard]

No ví que esta truncada, así sí stokes es aplicable...