Divulgación Utilidad de un producto río continuo

[danielandresbru]

Hola tenia curiosidad y quería saber si sería algo útil un producto río de infinitos valores que tiendan a 1 de una forma continua, asii como en la integral

[alexpglez]

Re: Utilidad de un producto río continuo

Hola perdona, a que te refieres con "producto río"¿?
Si te refieres a un producto:

$$D[x]=\lim_{n \to \infty} \prod_i dx_i=\lim_{n \to \infty} dx_1dx_2dx_3....dx_n$$

Y formar una integral con ello, decir que existe, y se llama integral funcional:

$$\int F(x) D[x]$$

Y por ejemplo aparece en mecánica cuántica, en el propagador de Feynman:

$$k(x_f,x_0)=\int e^{iS[x]} D[x]$$

Dónde:

$$\phi(x_f)=\int dx_0 k(x_f,x_0) \phi(x_0)$$

[Richard R Richard]

Re: Utilidad de un producto río continuo

Te refieres a que valor tomara la función y si es util para algo? pero como defines la productoria?

$\dst Lim_{h\to 0} \prod^{n=\infty}_{i=1} (1+h)$


o

$\dst \prod^{n=\infty}_{i=1} (1+\frac 1n)$


La primera diverge hacia infinito, la segunda, no lo tengo claro, pero imagino que tambien,
no se si es debido a la baja precisión del excel pero la productoria hasta n =30000 anda por de 10.889 ,
pero para saber si tomara un numero finito, o diverge tienes que trabajar por inducción.

si diverge no tiene ningun uso especifico.

Hola Alex el tema es que los diferenciales no deben alejarse de la unidad.


también se me ocurre que puedes definir

$\dst \prod^{n=\infty}_{i=1} (1-\frac 1n)$

que lógicamente es 0

y

$\dst Lim_{h\to 0} \prod^{n=\infty}_{i=1} (1-h)$

que también es 0

[danielandresbru]

Re: Utilidad de un producto río continuo

Hola, lo que quise decir es que si tendría utilidad algo como esto $\lim_{n \to \inf} \prod_{k=0}^{n} [f(a + k \frac{(b-a)}{n})]^\frac{(b-a)}{n}$[FONT=fixed] , [/FONT]así como $\int_a^b f(x) dx= \lim_{n \to \inf} \sum_{k=0}^{n} \frac{(b-a)}{n} f(a + k \frac{(b-a)}{n})$[FONT=fixed], [/FONT]quería saber si tambien serviría una especie de integral pero productoria algo que tenga una expresión parecida a esta $P_a^b f(x) ^{dx}= \lim_{n \to \inf} \prod_{k=0}^{n} [f(a + k \frac{(b-a)}{n})]^\frac{(b-a)}{n}$

[Richard R Richard]

Re: Utilidad de un producto río continuo

Hola, lo que quise decir es que si tendría utilidad algo como esto $\lim_{n \to \inf} \prod_{k=0}^{n} [f(a + k \frac{(b-a)}{n})]^\frac{(b-a)}{n}$[FONT=fixed] , [/FONT]así como $\int_a^b f(x) dx= \lim_{n \to \inf} \sum_{k=0}^{n} \frac{(b-a)}{n} f(a + k \frac{(b-a)}{n})$[FONT=fixed], [/FONT]quería saber si tambien serviría una especie de integral pero productoria

yo nunca he usado

$\dst \lim_{n \to \infty} \prod_{k=0}^{n} [f(a + k \dfrac{(b-a)}{n})]^\frac{(b-a)}{n}$

como resultado a ningún problema

Tienes que definir bien que valores toma a,b,k y cual es la imagen de f en sus dominios, si en cada termino de f es menor que 1 la productoria tiende a 0 y si es mayor diverge a infinito.