1r ciclo Serie de Fourier "desplazada"

[Alofre]

Hola,
estaba intentando resolver un ejercicio de series de Fourier que no tengo del todo claro. El ejercicio dice "desarrollar en serie de Fourier la función cos(pi*x) en (1,2]". No tengo claro como plantearlo porque es la primera vez que me introduzco a este tema, y hasta ahora solo había trabajado con funciones en un intervalo (-L,L] centradas en 0, por así decirlo. Agradecería si alguien pudiese darme alguna pista sobre como plantearlo.
Gracias!!

[Alriga]

... desarrollar en serie de Fourier la función $\cos(\pi x)$ en (1, 2]

Entiendo que te están pidiendo que desarrolles en Serie de Fourier esta función:

Que vale

$f(x)=\cos \pi x \quad en \quad (1, \ 2]$

y fuera de (1, 2] se repite periódicamente con período T=2-1=1 a lo largo de todo el eje x

Aplica que:

$\dst a_n = \frac{2}{T} \int_{\tau}^{\tau+T} f(x) \cos \left( \frac{2n \pi}{T} x \right) dx$

$\dst b_n = \frac{2}{T} \int_{\tau}^{\tau+T} f(x) \sin \left( \frac{2n \pi}{T} x \right) dx$

Con

$\tau =1 \quad T=1$

Es decir:

$\dst a_n =2 \int_{1}^{2} \cos (\pi x) \cdot \cos (2n \pi x) \ dx$

$\dst b_n =2 \int_{1}^{2} \cos (\pi x) \cdot \sin (2n \pi x) \ dx$

Saludos.

[Alofre]

Hola, muchas gracias. El ejercicio como tal ya me ha salido, lo que no veo muy bien es de donde sale esa expresión para el cálculo de los coeficientes de Fourier. Es decir, yo hasta ahora había visto para funciones de período T definidas en un intervalo [-L,L] $a_n= \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \cos(x n \omega)dx$. Entiendo que la expresión que has usado es una generalización de ésta, de tal manera que una función de período T definida en (t,t+T) tiene como coeficiente $a_n=\int_t^{t+T} f(x) \cos(x n \omega) dx$?
Mil gracias!!

[Alriga]

... yo hasta ahora había visto para funciones de período T definidas en un intervalo [-L,L] $a_n= \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \cos(x n \omega)dx$. Entiendo que la expresión que has usado es una generalización de ésta, ...

Sí, así es.

de tal manera que una función de período T definida en (t,t+T) tiene como coeficiente $a_n=\int_t^{t+T} f(x) \cos(x n \omega) dx$?

$\dst a_n = \frac{2}{T} \int_{t}^{t+T} f(x) \cos \left( \frac{2n \pi}{T} x \right) dx$

Saludos.